VuaTenMien.Com: 20 cách chứng minh cho bất đẳng thức Nesbit

Thứ Tư, 19 tháng 11, 2008

Cách 13:

Ta có

$\sum_{cycl}\dfrac{a}{b+c}=$

$=$

Theo AM-GM ta có:

$\ged\frac{1}{2}(6-3)=$

Cách 14:

Đặt

$dfrac{a}{b+c}=$

Lúc đó

$xy+yz+zx+2xyz=$

BDT cần chứng minh là

$x+y+zgeq dfrac{3}{2}$

Ta chứng minh bằng phản chứng, nếu

$x+y+z< dfrac{3}{2}$

thì theo 2 BDT quen thuộc ta có

$1=xy+yz+zx+2xyzleq dfrac{(x+y+z)^2}{3}+2left(dfrac{x+y+z}{3}right)^3<1$

Mâu thuẫn!!!

Cách 15:

Theo AM-GM cho 2 số thì

$dfrac{a(b+c)}{b+c} + dfrac{a^{2}}{b+c} + dfrac{b+c}{4} geq 2a$

hay

$dfrac{a(a+b+c)}{b+c} + dfrac{b+c}{4} geq 2a$

Hoàn toàn tương tự, ta được

$dfrac{b(a+b+c)}{a+c} + dfrac{a+c}{4} geq 2b$

và

$dfrac{c(a+b+c)}{a+b} + dfrac{b+a}{4} geq 2c$

Cộng vế theo vế ta có kết quả

$(a+b+c)( dfrac{a}{b+c} + dfrac{b}{c+a} + dfrac{c}{b+a} ) geq dfrac{3}{2}(a+b+c)$

(...còn tiếp...)