VuaTenMien.Com: 20 cách chứng minh cho bất đẳng thức Nesbit

Thứ Tư, 26 tháng 11, 2008

Cách 16:

Ta có thể giả sử

$a+b+c=$

Với x thuộc khoảng (0;3) ta có (dành cho bạn đọc)

$dfrac{x}{3-x}geqdfrac{3}{4}(x-1)+dfrac{1}{2}$

Lần lượt thay x bởi a, b, c và cộng các BDT vừa đạt được theo vế ta có kết quả.

Cách 17:
Đặt

$b+c=$

thì

$a=$

BDT Nesbit trở thành

$dfrac{1}{2}sum dfrac{y+z-x}{x}geq dfrac{3}{2}$

Rút gọn ta có

$sum_{text{sym}}dfrac{x}{y}geq 6$

Áp dụng AM-GM cho 6 số là xong.

Cách 18: (Áp dụng BDT Jensen cho hàm lõm)
Đặt

$x=$

Với t dương, xét hàm số

$f(t)=$

Dễ thấy

$f''(t)=-dfrac{2}{(t+1)^3}<0forall tin (0,infty)$

Theo BDT Jensen

$f(dfrac{1}{2})=dfrac{1}{3}=dfrac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}leq fleft(dfrac{x+y+z}{3}right)$

Mặt khác

$f'(t)=dfrac{1}{(t+1)^2}>0forall t>0$

do đó hàm f tăng ngặt trên $(0,infty)$ . Suy ra

$dfrac{1}{2}leq dfrac{x+y+z}{3}$

Suy ra điều phải chứng minh.

(...còn tiếp...)