20 cách chứng minh cho bất đẳng thức Nesbit - phần 1

Loạt bài này sẽ giới thiệu 20 cách chứng minh bất đẳng thức Nesbit nổi tiếng. Trước hết ta phát biểu lại bất đẳng thức này: Với mọi a, b, c lớn hơn 0, ta luôn có

Xin nói ngoài lề một chút, trong bài này ta sử dụng một cách viết công thức trong Blogspot mới, cho một kết quả tốt hơn chưa xuất hiện ở đâu trên thế giới. Nó sẽ ra mắt bạn đọc trong một ngày không xa.

Ta trở lại với bài toán.

Cách 1:

Cộng thêm 1+1+1 vào hai vế của bất đẳng thức , ta được:

Đây là bất đẳng thức quen thuộc (nhân hai vế với 2 rồi sử dụng BĐT Cauchy 2 lần và nhân lại).

Cách 2: Đặt

Ta có

Từ đó

Cách 3: Không mất tính tổng quát, ta giả sử: . Xét hàm số:

trên khoảng I=(0;1), ta có

Do đó là hàm lồi trên , áp dụng bất đẳng thức Jensen thì

Đây là kết quả cần tìm.

(...còn tiếp...)