Thứ Bảy, 29 tháng 11, 2008

20 cách chứng minh cho Bất đẳng thức Nesbit - Phần cuối

Đã đăng: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5 - Phần 6
Cách 19: (Theo Hojoo Lee)
Theo AM-GM ta có các BDT

a^{3/2}+b^{3/2}+b^{3/2}geq 3a^{1/2}b

và

a^{3/2}+c^{3/2}+c^{3/2}geq 3a^{1/2}c

Suy ra

2(a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2})geq 3a^{1/2}(b+c)

hay

dfrac{a}{b+c}geq dfrac{3a^{3/2}}{2(a^{3/2}+b^{3/2}+c^{3/2})}

Điều này quá gần với BDT Nesbit. Công việc còn lại dành cho bạn đọc.
Cách 20:
Ta có: Áp dụng BDT sau của Vasile Cirtoaje (có thể tìm thấy chứng minh trong cuốn Sáng tạo BDT của Phạm Kim Hùng).

2(a^2+b^2+c^2)^2ge 3sum_{sym}a^3.b

Áp dụng BDT Schwarz cho 3 số

sum_{cyclic}dfrac{a}{b+c}= gedfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{sum_{sym}a^3.b}ge dfrac{3}{2}

Thay cho lời kết : Bất đẳng thức Nesbit vẫn còn rất nhiều cách chứng minh khác (không tầm thường chút nào) cũng như các dạng mở rộng của nó. Bạn đọc có thể xem thêm trong các tài liệu sau:

  • Titu Andrescu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Old and New Inequalities, GIL, 2004. Download here.
Người đăng: vào lúc
Nhãn: , ,

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)

Bài đăng phổ biến