VuaTenMien.Com: 20 cách chứng minh cho bất đẳng thức Nesbit

Thứ Tư, 12 tháng 11, 2008

Đã đăng: Phần 1 (Giới thiệu và 3 cách chứng minh)
Cách 4:
Đặt

$f(a,b,c)=$

Ta sẽ chứng minh:

$f(a,b,c)ge f(dfrac{a+b}{2},dfrac{a+b}{2},c)$

Thật vậy,

$f(a,b,c)- f(dfrac{a+b}{2},dfrac{a+b}{2},c)=dfrac{(a-b)^2.(a+b+c)}{(2c+a+b)(b+c)(a+c)}geq 0$

Do đó

$f(a,b,c)ge f(dfrac{a+b}{2},dfrac{a+b}{2},c)$

Tiếp theo ta chỉ ra

$f(dfrac{a+b}{2},dfrac{a+b}{2},c)gedfrac{3}{2}$

Ta đặt

$t=$

Bài toán tương đương với

$dfrac{2t}{c+t}+dfrac{c}{2t}ge dfrac{3}{2}$

Nói cách khác

$dfrac{(t-c)^2}{2t.(c+t)}ge 0$

Điều này là rõ ràng.
Cách 5:
Có thể giả sử

$c=$

Lúc đó

$sumdfrac{a}{b+c}-dfrac{3}{2}=dfrac{1}{(a+c)(b+c)}.(a-b)^2+ dfrac{a+b+2c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}.(a-c)(b-c)$

luôn không âm vì a, b, c dương và $c=$ .
Cách 6:
Dùng phương pháp SOS.

$sumdfrac{a}{b+c}-dfrac{3}{2}=sumdfrac{(a-b)^2}{2(a+c).(b+c)}ge 0$

Vì a, b, c là các số dương nên bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng.

(... còn tiếp...)