VuaTenMien.Com: 20 cách chứng minh cho bất đẳng thức Nesbit

Thứ Sáu, 14 tháng 11, 2008

Cách 7:

Không mất tính tổng quát ta giả sử $ageq bgeq c$ .

Khi đó

$b+cleq c+aleq a+b$

hay

$dfrac{1}{b+c}geqdfrac{1}{c+a}geq dfrac{1}{a+b}$

Theo BDT hoán vị thì

$dfrac{a}{b+c}+dfrac{b}{c+a}+dfrac{c}{a+b}geq dfrac{b}{b+c}+dfrac{c}{c+a}+dfrac{a}{a+b}$

và

$dfrac{a}{b+c}+dfrac{b}{c+a}+dfrac{c}{a+b}geq dfrac{c}{b+c}+dfrac{a}{c+a}+dfrac{b}{a+b}$

Cộng vế theo vế ta có kết quả mong muốn

Cách 8:

Theo Cauchy-Schwarz ta có:

$sumdfrac{a}{b+c}=$

$ge dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$

Ta còn có :

$(a+b+c)^2ge 3(ab+bc+ca)$

Kết hợp lại là xong .

Cách 9:

BDT ban đầu tương đương với

$dfrac{sum_{cyclic}a^3+[sum_{sym}a^2.b]+3abc}{[sum_{sym}a^2.b]+2abc}ge dfrac{3}{2}$

hay :

$2.sum_{cyclic}a^3ge sum_{sym}a^2.b$

Theo AM-GM:

$a^2.ble dfrac{a^3+a^3+b^3}{3}$

Cộng theo vế 6 BDT tương tự ta có kết quả mong muốn.

(... còn tiếp...)