VuaTenMien.Com: 20 cách chứng minh cho bất đẳng thức Nesbit

Thứ Bảy, 15 tháng 11, 2008

Đã đăng: Phần 1 , Phần 2, Phần 3

Cách 10:Không mất tính tổng quát giả sử $a+b+c=1$ .
Ta có:

$dfrac{a}{b+c}+dfrac{9a(b+c)}{4}geq 3a$

và các dạng "hoán vị" của nó. Áp dung BDT:

$(a+b+c)^2geq 3(ab+bc+ca)$

ta có đpcm .
Cách 11:
Trước hết ta chứng minh

$dfrac{a}{b+c}geq dfrac{8a-b-c}{4(a+b+c)}$

That vay, ta có thể viết lại là:

$(2a-b-c)^2ge 0$

luôn đúng. Cộng vế theo vế là xong.
Cách 12:
Giả sử $age bge c$ . Khi đó:

$dfrac{1}{b+c}ge dfrac{1}{c+a}ge dfrac{1}{a+b}$

Theo Chebyshev và AM-GM, ta có:

$dfrac{a}{b+c}+dfrac{b}{c+a}+dfrac{c}{a+b} ge$

$dfrac{1}{3}.(a+b+c)(dfrac{1}{a+b}+dfrac{1}{b+c}+dfrac{1}{c+a}) =$

$dfrac{1}{6}[(a+b)+(b+c)+(c+a)][dfrac{1}{a+b}+dfrac{1}{b+c}+dfrac{1}{c+a}]gedfrac{9}{6}$

Chứng minh xong.
(...còn tiếp...)