Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán 1962 - 2005

• Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán THPT 1962 - 2005: Tải về
• Bộ đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán THCS (cấp 2) từ 1962 - 1986: Tải về

Đề thi - đáp án tốt nghiệp môn Toán THPT 2008 và trước đó (1992-2007)

Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008 có 3 hệ: THPT phân ban, THPT không phân ban, THBT.
Đề thi và đáp án chi tiết môn Toán của cả 3 hệ: Download
Ngoài ra bạn có thể download bộ đề thi và đáp án tốt nghiệp môn Toán các năm trước để tham khảo

• Tốt nghiệp THPT môn Toán từ năm 1992 đến 2002: Download (NEW)
• Tốt nghiệp THPT môn Toán từ năm 2003 đến 2007: Download (NEW)
  

Hình gây ảo giác - Phần 3

Trong thực tế, có thể làm được những mô hình như thế này không?

Họ đang đi lên hay đi xuống bậc thang vậy?

Bài liên quan:

• Hình gây ảo giác: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5
  
• Tranh của Escher: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3
  

Thực tiễn có phải là tiêu chuẩn để kiểm nghiệm các chân lý Toán học?

Thực tiễn không chỉ là cơ sở của nhận thức, mà còn là hòn đá thử vàng cho các chân lý khoa học. Những cuộc cách mạng trong khoa học thường gắn với yêu cầu về kỹ thuật của thời đại, của thực tiễn sản xuất. Nếu xã hội nảy ra nhu cầu về kỹ thuật, thì nhu cầu đó sẽ “đẩy khoa học tiến lên mạnh hơn cả chục trường đại học” (Ăng-ghen). Quan niệm các con số thống trị thế giới của Pythagore cũng là do đặc điểm kinh tế thời ấy là việc trao đổi hàng hóa chỉ chú trọng đến mặt lượng mà không để ý đến giá trị của hàng hóa; chế độ nô lệ coi con người như vật thể vật lý, đồ vật vật chất nên Toán học cổ của Hy lạp chủ yếu là hình học. Toán học phát triển triển mạnh kể từ sau thời Phục hưng cũng là do quan hệ sản xuất tư bản chủ nghĩa phát triển mạnh, sự phát triển ngành hàng hải, các cuộc đi biển yêu cầu phải nghiên cứu thiên văn mà thiên văn thì phải có Toán học mới phát triển được Sự phát triển của thành thị, nhu cầu xây dựng những công trình lớn (cả nhu cầu về hàng hải và chiến tranh nữa) đã làm cho cơ học phát triển theo và lại kéo theo sự phát triển của Toán học. Việc dùng máy móc trong sản xuất hồi thế kỷ XVII đã ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của KHTN (C. Mác khi nghiên cứu về kinh tế của CNTN đã viết rằng việc dùng máy móc hồi thế kỷ XVII, đã đem lại cho các nhà Toán học vĩ đại thời bấy giờ những chỗ dựa thực tế và những sự kích thích để sáng lập ra cơ học hiện đại). Chính những yêu cầu của môn thiên văn học và cơ học thế kỷ XVII đã đề ra nhiệm vụ cấp bách tạo ra phép tính vi – tích phân. v.v... Theo C. Mác, “vấn đề tìm hiểu xem tư duy con người có đạt tới chân lý khách quan hay không, hoàn toàn không phải là một vấn đề lý luận, mà là một vấn đề thực tiễn. Chính trong thực tiễn mà con người phải chứng minh chân lý, nghĩa là chứng minh tính hiện thực, sức mạnh, tính bên này của tư duy. Sự bàn cãi về tính hiện thực hay tính không hiện thực của tư duy tác rời thực tiễn là một vấn đề thuần túy kinh viện”
Toán học không tách rời thực tiễn nhưng tính chính xác của các chân lý Toán học có kiểm nghiệm được trong thực tiễn hay không? Mục đích cuối cùng của mọi khoa học đều là nghiên cứu để rồi cải tạo tự nhiên, nếu Toán học không thể kiểm chứng trong tự nhiên, chẳng hóa ra nó chỉ là thú vui của các nhà Toán học hay sao? Chúng ta đều biết đến tính hiển nhiên của nhiều tiên đề, định lý Toán học, nhưng thật ra, nó gây ra nghi ngờ và không đòi hỏi phải chứng minh gì, chỉ là vì chúng luôn luôn được toàn bộ hoạt động thực tế của loài người xác nhận. Định lý hình học phát biểu 3 đường cao trong một tam giác là đồng quy nhưng khi vẽ ra chúng ta lại không thấy thế thì định lý ấy cần phải xem xét lại. Tuy nhiên nhiều khi chúng ta không dễ gì kiểm nghiệm các chân lý Toán học bằng kinh nghiệm. Ngay như tiên đề về hai đường thẳng song song, chúng ta cũng không thể nào kiểm tra được: chúng ta làm sao kiểm tra được khi hai đường thẳng ấy được kéo ra vô hạn, luc đó nó có cắt nhau hay không? Gauss đã từng lấy 3 ngọn núi cách xa nhau để kiểm tra tổng của 3 góc trong tam giác nhưng cũng không thấy gì khác so với khẳng định của Euclide. Rõ ràng chúng ta phải sử dụng những phương pháp gián tiếp để kiểm nghiệm. Đó là giả định cái điều ấy là đúng, bằng phương pháp suy luận logic, chúng ta sẽ đi đến các định lý dễ kiểm nghiệm hơn.
Như vậy con đường khép kín “thực nghiệm – lý thuyết – thực nghiệm” trong Toán học không hề đơn giản, cái tính chất gắn liền với sản xuất thực tiễn không không rõ ràng như trước nữa, vì sự thực là nó còn có nguyên nhân nội tại nữa. Nói cái gì của Toán học cũng là từ thực tiễn là nói liều, và hạ thấp chính bản thân môn toán: tính độc lập tương đối của Toán học không những là tồn tại, mà nó còn rõ ràng hơn các khoa học khác nhiều.
Chúng ta cũng nên nhớ sức mạnh của phương pháp suy diễn thuần túy: nếu xuất phát từ những tiền đề đúng đắn, phương pháp suy luận chính xác thì chúng luôn thu được những kết quả phù hợp với thực tế. Đối tượng của Toán học ngày càng trừu tượng nhưng xét một cách tổng thể thì chúng lại gần với hiện thực và phản ánh hiện thực phong phú, toàn diện (điều này thì Toán học cổ điển không thể có được). “Tư duy, khi tiến từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, không xa rời chân lý, mà đến gần chân lý. Những sự trừu tượng về vật chất, về quy luật tự nhiên, sự trừu tượng về giá trị, v.v..., tóm lại, tất cả những sự trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ảnh giới tự nhiên sâu sắc hơn, chính xác hơn, đầy đủ hơn”. Điểm lưu ý cuối cùng, không nên hiểu thực tiễn như một cái gì chết cứng, nó cũng thay đổi cùng với sự phát triển của nhận thức con người. Đồng thời tiêu chuẩn thực tiễn cũng mang tính tương đối, đó là nó không bao giờ khẳng định hay phủ nhận hoàn toàn bởi bất kỳ quan niệm nào của con người. Chính con người, trên con đường chinh phục và cải tạo thực tiễn, phải làm cho các quan niệm ấy ngày càng “thực tiễn” hơn.

Toán học có nghiên cứu thực tại không? - Phần 2

Sự ra đời của phương pháp tiên đề đánh dấu một bước phát triển quan trong trong Toán học. Toán học được “hình thức hóa” bằng các tiên đề. Toán học dường như bị quy về logic học, ngay cả Triết học cũng có nguy cơ bị quy về logic toán. Đó là tham vọng của chủ nghĩa logic (logicism). Người đề xướng chủ nghĩa này là nhà Toán học, logic học tài ba B. Russell. (Russell và Godel là hai nhà logic lớn nhất thế kỷ 20). Theo Russell, toàn bộ Toán học có thể quy về logic không có nội dung vật chất, trong đó những tiên đề Toán học là những nguyên lý logic tiên thiên (có trước kinh nghiệm, không phụ thuộc vào kinh nghiệm).
Thật ra người ta từ lâu người ta đã nghĩ các mệnh đề Toán học vốn trống rỗng, không hề có nội dung vật chất. Nó hoàn toàn là sản phẩm của trí tuệ loài người chứ không biểu hiện gì về chân lý khách quan cả. Platon đã từng coi Toán học xuất phát từ những cái ở thế giới bên kia; Aristote cũng sáng tạo ra logic hình thức theo đúng nghĩa, là việc chúng ta thu được những tri thức mới từ những tiền đề nhất định được suy diễn một cách “hình thức” (theo phương pháp tam đoạn luận) bất kể nội dung của nó thế nào; còn Euclide thì hoàn toàn bằng phương pháp suy diễn trên những tiền đề nhất định mà vẫn xây dựng được một thứ hình học hoàn chỉnh; Lobachevsky khi tạo ra hình học phi Euclide cũng không tìm được một mô hình phù hợp với nó, người ta chỉ thấy nó trái hẳn với kinh nghiệm thông thường nhưng lại không tìm được mâu thuẫn nào trong cách xây dựng của ông. Như vậy có phải là trong Toán học cái gì không mẫu thuẫn thì sẽ tồn tại (như H. Poincaré, D. Hilbert quan niệm)?
Chúng ta đều biết phương pháp tiên đề dựa trên một tính chất rất quan trọng là tính không mâu thuẫn (cùng với tính đầy đủ, tính độc lập). Hilbert đã tìm cách chứng minh rằng, xuất phát từ những tiền đề nhất định chúng ta sẽ không đi đến những kết luận ngược đời nhau. Nếu chứng minh được điều này, thì việc Toán học có thể quy về logic học như Russell (và những người theo logicism) nói là điều không cãi vào đâu được. Và nếu điều này là đúng thì hóa ra Toán học chỉ là trò chơi chữ thuộc vào loại “xịn” mà thôi, và con cháu chúng ta sẽ có nguy cơ phải học nhiều thứ Toán học khác nhau (vì lúc ấy ta xây dựng Toán học thế nào mà chẳng được, chỉ cần thay đổi tiền đề của nó đi là xong). Đó sẽ là một cuộc cách mạng lớn nhất trong Toán học. Nhưng thật may là lịch sử Toán học có từ hàng năm vẫn được giữ nguyên. Russel muốn xây dựng lại Toán học trên các khái niệm của logic học thuần túy nhưng lại vấp phải khó khăn do chính những nghịch lý của ông về lý thuyết tập hợp, tạo ra. Hilbert thì bị siêu định lý của Godel làm cho công cốc. Định lý không hoàn hảo (incompleteness theorem – còn gọi là Định lý bất toàn) của Godel bảo rằng bất kỳ hệ logic nào cũng không thể nào tự chứng minh được là nó có mâu thuẫn hay không, nghĩa là mọi hệ logic đều “không hoàn hảo”. Chẳng hạn, muốn chứng minh tính không mẫu thuẫn của hình học phi Euclide, ta phải dựa vào hình học Euclide, rồi tính mâu thuẫn của hình học Euclide lại quy về tính không mâu thuẫn của số học, ... Chứng minh của Godel đã làm phá sản luôn chủ nghĩa hình thức của Hilbert lẫn chủ nghĩa logic của Russell, quan trọng hơn nó khẳng định rằng Toán học chỉ có thể dựa vào hiện thực mới “sống” được, bất cứ ai cũng không thể tạo ra một thứ Toán học mới một cách tùy tiện cho riêng mình. Và, giả sử một ngày nào đó, bỗng dưng loài người phát hiện ra một hành tinh khác y chang như Trái Đất thân yêu này, thì chắc chắn, chúng ta hoàn toàn có thể hiểu được Toán học của họ trong lúc đi bằng hai chân chứ không cần phải lộn người lên.

Đề luyện thi vào Đại học FPT

Ở Việt Nam, ĐH FPT tuy mới ra đời nhưng khá uy tín bởi cách tuyển chọn nhân tài khác người và chương trình đào tạo tốt. Hãy xem người ta thi vào ĐH FPT như thế nào qua các đề thi sau

• 111 Câu trắc nghiệm luyện thi vào ĐH FPT - Download
• Đề thi hoàn chỉnh Download - Đáp án chi tiết của đề thi hoàn chỉnh Download
• Đề thi mẫu FPT - Download
• Đề thi GMAT Problem solving FPT - Download
• Hướng dẫn làm bài - Download

Download với link mediafire ở đây: DOWNLOAD.

Hình gây ảo giác - Phần 2

Tĩnh hay động? Vuông hay tròn?

Bao nhiêu con ngựa, bao nhiêu đầu người?

Có hàng trăm mặt người ở trong bức tranh kỳ dị này

Ai cao hơn?

2 người đàn ông + 1 phụ nữ và hơn thế

Có bao nhiêu con ngựa vậy?




Bài liên quan:

• Hình gây ảo giác: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5
  
• Tranh của Escher: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3
  

Giáo trình Lý thuyết trường và Galois - TS. Nguyễn Chánh Tú

Đây là một ebook đẹp nhất mà tôi từng đọc. Bạn sẽ thấy thật tuyệt khi xem ở dạng trình chiếu View Full screen. Đọc xong bạn không chỉ hiểu thấu đáo về Lí thuyết mở rộng trường và Galois mà còn biết thêm về lịch sử hình thành và những câu chuyện Toán học liên quan.
Tác giả cuốn ebook tuyệt vời này là TS. Nguyễn Chánh Tú ở ĐHSP Huế
Download

Hình gây ảo giác - Phần 1

Có bao nhiêu chấm đen?

Các đường kẻ ngang có song song?

Hai đương thẳng màu tím không song song?

Voi này có bao nhiêu chân?

Hai hình tròn ở giữa không bằng nhau?

Có phải là đường xoắn ốc?

Chú chó đốm ở đâu?

Một chú chim khổng lồ...

...quay ngược lại sẽ được hình một người bắt một con cá rất to

Ở đây có 4 con chó sói?

Mặt người hay đơn giản chỉ là chữ Liar? 

Bài liên quan:

• Hình gây ảo giác: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3 - Phần 4 - Phần 5
  
• Tranh của Escher: Phần 1 - Phần 2 - Phần 3
  

Toán học có nghiên cứu thực tại không? - Phần 1

Toán học chắc chắn là một trong các khoa học xuất hiện sớm nhất (nếu không muốn nói là khoa học đầu tiên). Nó xuất hiện không phải do thời xưa có mấy ông rỗi hơi, không có việc gì làm nên mới ngồi bịa ra các con số, các phép tính để giết thời gian. Toán học nảy sinh do yêu cầu của đời sống kinh tế. Ngay từ buổi đầu tiên, loài người đã có những kiến thức Toán học do ảnh hưởng của ngay cả những hoạt động sản xuất sơ khai nhất. Chẳng hạn, để xác định số lượng động vật trong một bầy, số lượng hoa màu thu hoạch được trong một mùa,..., mà nảy sinh ra phép đếm và do đó làm xuất hiện khái niệm số. Chúng ta có thể thấy điều này qua danh từ “calculus” (tính toán) nghĩa là “đếm bằng đá”, vì ngày xưa người ta thường đếm các đối tượng bằng ngón tay, bằng que, bằng đá,... Phân số xuất hiện do yêu cầu đo lường các đại lượng. Nhu cầu về đo, tính toán diện tích các khu đất, đo các vật thể hình khối, nhà cửa ... cũng làm nảy sinh các phép tính hình học. Ngay cả đến các thời kỳ sau này, chúng ta cũng kể được vô số ví dụ chứng tỏ Toán học đã phát sinh và phát triển từ hoạt động sản xuất của con người. Ăng-ghen đã viết rằng: “Trước khi đi đến quan niệm rút ra hình trụ từ việc quay tròn một hình chữ nhật xung quanh một cạnh của nó, thì người ta đã phải nghiên cứu một số hình chữ nhật và hình trụ hiện thực, dù là những hình thức rất không hoàn thiện. Cũng như tất cả các khoa học khác, Toán học sinh ra từ những nhu cầu thực tiễn của con người: từ việc đo diện tích các khoảng đất và việc đo dung tích của những bình chứa, từ việc tính toán thời gian và từ cơ học”.
Platon đã từng đặt phương pháp Toán học ở giữa trí tuệ thuần túy và biểu tượng cảm tính, trí tuệ phải cao hơn vì nó không cần dựa vào các đồ vật cảm tính, đồng thời đối tượng của Toán học cũng trừu tượng hơn những hình ảnh cảm tính. Toán học được xây dựng từ những điều mà ta giả định trước (tiên đề) và phương pháp của nó là suy luận từ những tiền đề ấy. Nhưng câu hỏi đặt ra: các tiên đề ấy từ đâu mà có? Platon trả lời: lấy từ thế giới ý niệm (hiểu nôm na là thế giới mà quá khứ của chúng ta đã sống). Để minh chứng điều này, Platon đã lấy một ví dụ như sau: Nhà triết học Socrates (là thầy của Platon) yêu cầu một đứa trẻ chưa học toán bao giờ giải một bài toán nhân đôi một hình vuông. Bằng phương pháp của mình (phương pháp hướng vào câu hỏi của Socrates), Socrates đã làm cho đứa bé trả lời đúng. Theo Platon, Socrates chỉ gợi cho đứa bé hồi tưởng lại dần những cái mà cậu đã bị lãng quên từ thế giới ý niệm mà thôi.
Chúng ta sẽ không tranh luận về cái thế giới ý niệm của Platon, vấn đề chúng ta đặt ra là: phải chăng Toán học là những tri thức tiên thiên (tiên nghiệm)? Cứ cho là Toán học thoạt tiên xuất phát từ thế giới hiện thực đi, nhưng những tư tưởng Toán học có phải là những biểu hiện của chân lý khách quan hay là chỉ là những sự suy diễn tùy tiện của trí tuệ con người? Sự phát triển mạnh mẽ của Toán học (nhất là sự ra đời của phương pháp tiên đề và môn logic toán) khiến cho nhiều người hoài nghi về đối tượng của Toán học và những quan hệ mà nó phản ảnh. Hàng chục thế kỷ người ta không thể nào chứng minh được cái điều mà Euclide coi là hiển nhiên (các tiên đề). Cái đó kể cũng vô lý, tại sao những cái nhìn cái thấy ngay là đúng lại không chứng minh được? Và rồi Lobachevsky “tự ý” thay đổi một tiên đề của Euclide để xây dựng 1 hình học mới cũng không gặp vấn đề gì, Riemann cũng làm như Lobachevsky nhưng theo 1 cách khác, cũng cho ra một thứ hình học mới khác. Hilbert bảo nếu ta coi cái bàn, cái ghế là “điểm”, là “đường thẳng” cũng chẳng sao. Poincaré nói cái gì không mâu thuẫn thì sẽ tồn tại (chứ không phải ngược lại). Chính sự thâm nhập mạnh mẽ của phương pháp Toán học vào vật lý học ở cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ 20 đã làm Vật lý bị khủng hoảng trầm trọng: Toán học đã làm cho vật chất mất đi, chỉ có phương trình là ở lại... Như vậy Toán học nghiên cứu những quan hệ trong thực tại hay là chỉ là phép biến đổi hình thức, tùy tiện trên những ký hiệu của logic hình thức? Chúng ta thử xem mọi người trả lời câu hỏi đó như thế nào.
Chủ nghĩa kinh nghiệm (empiricism) trả lời Toán học tuy suy luận trên các ký hiệu nhưng các khẳng định của Toán học không phải về các ký hiệu, mà về các đồ vật mà ký hiệu đó biểu diễn. Mỗi ký hiệu đại số biểu diễn những số tùy ý, và “mỗi định lý hình học là một quy luật của tự nhiên bên ngoài và có thể xác lập bằng con đường tổng quát hóa các quan sát và kinh nghiệm” . Chúng ta rất dễ dàng bác bỏ những quan niệm này. Người ta thường nói sự trừu tượng trong Toán học rất cao, có những tri thức Toán học ta không dễ gì kiểm nghiệm bằng quan sát hay kinh nghiệm (thậm chí là không thể). Hơn nữa những cái thuộc về kinh nghiệm cũng chưa chắc là những tri thức Toán học. Chẳng hạn, chúng ta kẻ 3 đường cao trong tam giác và thấy hình như nó đồng quy. Chúng ta có vẽ hàng trăm tam giác khác nhau thì cũng không thể coi sự đồng quy ấy là một định lý, chừng nào nó chưa được chứng minh chặt chẽ, nghĩa là phải chỉ ra rằng nó thật sự là đồng quy chứ không phải kinh nghiệm của chúng ta mách bảo. Những gì chúng ta cảm giác rằng nó đúng thì chỉ là giả thuyết (hypothesis), mọi kết luận suy ra từ kinh nghiệm đều là phép quy nạp không hoàn toàn. Máy tính điện tử có chạy đúng hàng tỷ số tự nhiên thì cũng không khẳng định được Định lý lớn Fermat (Fermat’s Last Theorem) là đúng. Như vậy chủ nghĩa kinh nghiệm đã vấp ngay phải vấn đề tự nó không thể giải quyết được. Đó là sự không đồng nhất giữa một mệnh đề (định lý) Toán học với kinh nghiệm cảm tính. Thứ nhất, kinh nghiệm cảm tính luôn phản ánh cái riêng lẻ, cái ngẫu nhiên, còn định lý Toán học là sự phản ánh cái chung, cái tất yếu (chú ý nhận thức cảm tính không bao giờ đạt đến cái chung, cái bản chất); thứ hai, sự đúc rút kinh nghiệm luôn là phép quy nạp không hoàn toàn trong khi Toán học cần phép quy nạp đầy đủ.

...(còn tiếp)...

Tỉ lệ đỗ tốt nghiệp

Thừa Thiên - Huế: Năm 2008, tỉ lệ tốt nghiệp đối với hệ THPT là 70,92%, hệ bổ túc là 32,89%. Có 2 trường tỉ lệ đỗ tốt nghiệp 0% là Trung tâm Giáo dục thường xuyên Phú Lộc, Trung tâm Giáo dục thường xuyên A Lưới. (Nguồn: Lao động online )
Con số này năm ngoái là 66,04% đối với hệ THPT và 12,84% (189/1.472) đối với hệ bổ túc.
Năm nay tỉ lệ học sinh hệ THPT đỗ tốt nghiệp có tăng nhưng không đáng kể (gần 5%), nhưng với hệ bổ túc thì tăng trưởng nhảy vọt (20%). Điều này phản ánh một thực tế:

• Học sinh đã coi trọng việc học hơn vì sợ hỏng như các anh chị năm trước
• Đề thi có phần "hướng thiện" hơn
• Công tác coi thi và chấm thi có phần "dễ thở" hơn

(So sánh: Tỉ lệ đỗ tốt nghiệp THPT năm 2008 toàn quốc: 75,96%, năm 2007 là 66,6%)

Toán học là gì?

Toán học có thể xem là một "không gian vectơ vô hạn chiều" trên "trường" các quy tắc suy luận logic được con người thừa nhận, mà “cơ sở” của nó là "hệ các tiên đề được thừa nhận" . Trong đó các “vectơ” - gọi là mệnh đề của toán học - là các "tổ hợp tuyến tính" của các tiên đề theo "quy tắc cộng và nhân với vô hướng" từ “trường” các quy tắc suy luận.
Để làm cứu cánh cho mình , các nhà toán học rất thông minh đã nghĩ ra những "phép chiếu xạ ảnh" từ "không gian vectơ vô hạn chiều" của mình vào những tập hợp các đối tượng trong thực tế, trong các ngành khoa học khác như vật lí, sinh học , kinh tế ... . Đó chính là cái mà người ta gọi là "ứng dụng của toán học" .
Đối với các nhà toán học thuần túy , phương pháp nghiên cứu của họ là chọn trước một cấu trúc con của không gian vectơ toán học rồi nghiên cứu ảnh của nó qua phép chiếu xạ ảnh . Còn các nhà toán học ứng dụng lại làm ngược lại, họ chọn trước tập đích và cấu trúc con của nó để nghiên cứu nghịch ảnh của phép chiếu xạ ảnh.

Bài tập Giải tích hàm qua các kỳ thi và lời giải

Đây là tuyển tập các đề thi Giải tích hàm dành cho sinh viên năm 4 và học viên Cao học của Đại học Sư phạm Huế từ 1997 - 2008. Trong đó có lời giải chi tiết của những bài thường xuyên xuất hiện.
Hy vọng có ai đó tìm được một chút hữu ích trong tập tài liệu này. Download

Bài liên quan: Bài tập giải tích hàm - Phạm Đình Đồng

Tạm biệt Huế

Một trong 100 bài thơ hay nhất thế kỷ 20

Tạm biệt Huế
Thu Bồn

Bởi vì em dắt anh lên những ngôi đền cổ
Nên chén ngọc giờ chìm dưới đáy sông sâu
Những lăng tẩm như hoàng hôn chống lại ngày quên lãng
Mặt trời vàng và mắt em nâu

Xin chào Huế một lần anh đến
Để ngàn lần anh nhớ hư vô
Em rất thực nắng thì mờ ảo
Xin đừng lầm em với cố đô

Áo trắng hỡi thuở tìm em không thấy
Nắng minh mang mấy nhịp Tràng Tiền
Nón rất Huế mà đời không phải thế
Mặt trời lên từ phía nón em nghiêng

Nhịp cầu cong và con đường thẳng
Một đời anh đi mãi chẳng về đâu
Con sông dùng dằng con sông không chảy
Sông chảy vào lòng nên Huế rất sâu

Tạm biệt Huế với em là vĩnh biệt
Hải Vân ơi xin người đừng tắt ngọn sao khuya
Tạm biệt Huế với chiếc hôn thầm lặng
Anh trở về hóa đá phía bên kia.

Đã được phổ nhạc rất hay. Lắng nghe...

Cách nhanh nhất để học Latex

Đầu tiên bạn phải có MathType 6.0. Sau khi cài đặt MathType, bạn làm theo các bước sau :

1. Khởi động chương trình MathType (Download các file cài đặt ở đây).
2. Click chọn Preferences trên thanh menu của MathType, chọn Translators…
3. Chọn Translation to other language (text) bằng cách click vào nút tròn phía trước (mặc định MathType chọn chế độ Equation Object (Windows Ole Object).
4. Trong ô Translators: bạn chọn TeX - LaTeX 2.09 and later (nhớ chọn đúng mục này, bạn nhé)
5. Bỏ trống (không chọn) hai mục sau đây:
Include translator name in translation
Include MathType data in tranlation
6. Nhấn OK.
Nếu làm đúng thì hộp thoại Translator sẽ có giao diện như hình sau:

Sau đó bạn cứ thoải mái viết công thức trên Mathtype rồi bôi đen công thức và copy dán vào Tex. Ví dụ

Dán vào TeX bạn sẽ được đoạn code cần tìm: $\langle x,y\rangle $

Liên hệ Toán học với thực tiễn - Phần 3

5. Nhìn những sự kiện, vấn đề quen thuộc dưới góc độ khác.

Nhiều khái niệm, định nghĩa cho đối tượng tóan học hoặc các tính chất thật ra liên hệ đến quá trình thực hiện theo thứ tự 2 công đoạn khác nhau. Nếu hai công đoạn này có thể hoán vị được thì ta có khái niệm mới hoặc tính chất mới. Sau đây là một số ví dụ như vậy.
- Tính liên tục của hàm số, ánh xạ: Có thể diễn tả một cách đơn giản bằng công thức
lim f(x_n) = f(lim x_­n) khi x­­_n tiến về x0, đó là hai quá trình tính giá trị của hàm và lấy giới hạn có thể hoán vị cho nhau.
- Các định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân hay đạo hàm của dãy hàm chẳng qua là sự hoán vị giữa phép toán lấy giới hạn với phép lấy tích phân (đạo hàm)
- Cho X, Y là các nhóm cộng, f: X -> Y là một ánh xạ. Ta nói f là một đồng cấu nhóm nếu với mọi a, b trong X, f(a+b) = f(a)+f(b). Vế trái thể hiện việc làm phép cộng xong mới tác động ánh xạ f vào, vế phải thì tác động ánh xạ f vào trước xong mới cộng lại. Hai quá trình ngược nhau nhưng vẫn như nhau, xác định bởi dấu =, cho khái niệm đồng cấu nhóm.
Có thể minh họa chuyện này bằng việc gọi cỗ đại pháo A là cơ động được nếu nó được lắp ráp hoàn chỉnh tại nhà máy rồi chuyển đến chiến trường hoặc có thể chuyển từng bộ phận rời đến chiến trường mới lắp ráp hoàn chỉnh sau. Cỗ đại pháo cơ động được sẽ rất tốt vì đáp ứng khả năng chiến đấu ở mọi địa hình.

6. Sự tồn tại, tính vô hạn trong toán học và trong cuộc sống.

- Tồn tại hay không tồn tại: Trong toán học hiện đại, có những đối tượng toán học tồn tại nhưng ta không thể xây dựng, kiến thiết cụ thể được. Phần lớn các chứng minh về sự tồn tại này là nhờ vào tiên đề chọn hay mệnh đề tương đương là Bổ đề Zorn. Các định lý như "Mọi không gian vectơ không tầm thường đều tồn tại một cơ sở", "Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên một không gian vectơ con đều tồn tại mở rộng, bảo toàn chuẩn trên không gian mẹ,…" đều phải sử dụng đến Bổ đề Zorn để chứng minh. Đầu thế kỷ XX nhiều nhà toán học chỉ chấp nhận những toán thể thực sự tồn tại nếu có thể kiến thiết được quá trình xây dựng hay tiếp cận chúng. Ngày nay hầu như mọi người làm toán đều thừa nhận tiên đề chọn và các hệ quả của nó.
Minh họa điều này trong thực tế, rằng có những cái biết ta biết nó tồn tại thực sự nhưng không thể chỉ ra được. Mệnh đề: Ở thành phố Hồ Chí Minh, tại mọi thời điểm (ví dụ 1 giây), luôn luôn tồn tại 2 người có số tóc trên đầu bằng nhau là một ví dụ.
Sử dụng nguyên lý Dirichlet, rằng có 4 chú thỏ nhốt trong 3 chuồng thì thế nào cũng có một chuồng có nhiều hơn một chú thỏ, để chứng minh mệnh đề trên thì không có gì khó khăn. Thật vậy, những thông tin có được là: điều tra dân số cho thấy thành phố có hơn bốn triệu dân. Tóc của mỗi người theo thống kê cho thấy là không quá không quá 3 triệu sợi.
Bây giờ ta lấy ra 3 triệu người. Nếu tồn tại 2 người nào đó có số tóc bằng nhau thì bài tóan giải xong. Nếu không có ai có số tóc trùng nhau thì giả sử người thứ nhất có 1 sợi tóc, người thứ 2 có 2 sợi tóc, v.v... cho đến người thứ 3 triệu có ba triệu sợi tóc. Tiếp theo ta mời người thứ 3.000.001 đến. Số tóc người này nằm trong khoảng từ 1 đến 3.000.000 nên chắc chắn sẽ trùng với số tóc của một người trong số 3 triệu người kể trên.
Lý luận thì như vậy, nhưng chắc là không tìm ra phương pháp để chỉ ra 2 người cụ thể nào.
- Hữu hạn hay vô hạn: Để chấm dứt bài này, người viết kể lại câu chuyện khách sạn Hilbert và xin được bịa ra một biến thể của nó. Câu chuyện như sau:
Một hôm có nhà doanh nghiệp tên Thông nằm mơ, được nhà toán học nổi tiếng người Đức tên là Hilbert mách bảo bí quyết kinh doanh bằng cách xây khách sạn để kiếm lời. Trong giấc mơ, nhà kinh doanh Thông nghe được bí kíp ấy thấy hay quá nên đã thuê người xây một khách sạn gồm các phòng đơn, được đánh số bởi 1,2,3,...., n,... Sau đó ông Thông, chủ khách sạn mạnh dạn tuyên bố rằng luôn luôn thoả mãn nhu cầu cho những ai cần chỗ ở.
Ngày nọ có một vị khách đường xa đến quầy tiếp tân để thuê phòng. Cô lễ tân nhìn vào sổ theo dõi thấy tất cả các phòng đều có người ở nên quay ra vị khách:
- Xin lỗi, ông cảm phiền đi nơi khác, khách sạn nay đã hết chỗ rồi.
- Các người làm ăn thế nào vậy? Ngoài bảng quảng cáo thì ghi rằng luôn đáp ứng đầy đủ chỗ ở cho ai có nhu cầu, giờ thì từ chối... Vị khách hét tướng lên.
Nghe tiếng ồn ào, vị chủ khách sạn chạy ra. Sau khi biết được câu chuyện, ông Thông quay qua nói với khách:
- Xin lỗi ông, do nhân viên chưa quen việc, sẽ có phòng ngay cho ông thôi mà.
Nói xong, ông thông liền ra lệnh cho nhân viên lễ tân tức tốc đến các phòng, làm các động tác như sau: yêu cầu vị khách đang ở phòng số 1 chuyển ngay sang phòng số 2, khách phòng số 2 thì chuyển sang phòng thứ ba,... nói chung khách đang ở phòng số thứ n thì chuyển sang phòng số thứ n+1,... Sau mấy phút sắp đặt, ông Thông ân cần mời vị khách mới đến vào phòng số 1 và thế là mọi chuyện tạm ổn.
Tất nhiên dù bị đánh động và phải chuyển đồ đạc nhưng rồi mọi người ai cũng có chỗ ở. Vì do số phòng nhiều vô hạn nên người đang ở phòng số n thì chỉ việc chuyển sang phòng mới số n+1. Ông Thông đang đắc chí thì bỗng nhiên bị kiến cắn phải thức dậy.
Hoá ra ông Thông đang nằm mơ, vì chuyện xây dựng khách sạn vô hạn phòng chỉ là lý thuyết, không tưởng, thực tế làm chi có. Tuy nhiên, ông Thông do già dặn trong cuộc đời, thấy mọi chuyện đều tương đối, ngay cả cuộc sống con người là hữu hạn. Thời trẻ, ông đã từng thề thốt với nhiều cô gái rằng, "Anh yêu em vô hạn", "Anh nhớ em vô cùng,..." nhưng thật ra ông chỉ "thương yêu" các cô gái ấy trong một giai đoạn hữu hạn nào đó. Từ đấy, ông suy nghĩ và ngộ ra rằng vô hạn trong cuộc đời thật ra là hữu hạn nhưng ở một mức độ "đủ lớn" nào đó là được. Với suy nghĩ như vậy, ông khai thác ý niệm vô hạn và xây một khách sạn "vô hạn" phòng như sau:
Ông thuê người xây 1 khách sạn có 6.000 phòng (khách sạn với số phòng chừng này thì không phải hiếm, đặc biệt các khách sạn phục vụ cho World Cup). Xong rồi ông quảng cáo rùm beng. Cũng như trên, khi khách đã đầy nhóc mà vẫn còn có người đến, ông giao cho tay quản lý khách sạn làm như trong mơ nghĩa là lôi ông khách phòng số 1 chuyển sang phòng số 2,.... Do tác phong lề mề, mỗi lần chuyển người từ phòng này sang phòng kia mất 10 phút, tính ra đến phòng cuối cùng là mất hết thảy 60.000 phút tức là 1000 giờ = hơn 41 ngày. Trong vòng 41 ngày ấy thông thường thế nào cũng có khách hết tiền nên phải trả phòng lại. Nếu không hên lắm thì mãi đến phòng cuối, nhét người khách phòng số 6000 vào phòng đã trả ấy. (Đó là một mánh chiến lược kinh doanh mạo hiểm! Tuy giữ được lời hứa là thoả mãn chỗ ở cho mọi người nhưng vị khách nào đã ở một lần thì tởn đến già, lần sau chắc là không dám ghé lại vì sẽ bị chuyển chỗ không biết lúc nào.)
Câu chuyện trên cho thấy đặc trưng của tập hợp vô hạn: Nếu thêm một tập hợp hữu hạn hay đếm được vào một tập hợp vô hạn A thì lực lượng của A không thay đổi. Ngoài ra ta thấy rằng, trong thực tế không có cái gì là vô hạn cả theo ý nghĩa toán học. Chỉ cần số hữu hạn "đủ lớn" nào đó là có thể xem là vô hạn rồi. Vấn đề là xác định "đủ lớn" đó như thế nào.
(Tác giả: PGS. TS. Nguyễn Hoàng - Đại học Huế)

Liên hệ Toán học với thực tiễn - Phần 2

3. Minh hoạ khái niệm toán học nhờ những sự kiện tương tự trong thực tiễn.
- Khái niệm không gian (mêtric, tôpô) khả ly: là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích. Một không gian khả ly nếu trong nó tồn tại một tập hữu hạn hay đếm được, trù mật khắp nơi. Tại sao người ta coi trọng những không gian khả ly? Một trong những lý do là vì chúng dễ xử lý và kiểm soát. Chỉ cần thu thập, kiểm soát những thông tin trên một tập khá nhỏ (tập hữu hạn hoặc đếm được các phần tử), trù mật trong không gian đã cho thì sẽ kiểm soát thu thập được thông tin trên toàn thể không gian. Có thể thấy ngay một ví dụ về một tập hợp trù mật ấy, chẳng hạn trong mỗi quốc gia, để nắm tình hình an ninh, Bộ Công an bố trí lực lượng công an khu vực như là một tập hợp trù mật trong một quốc gia vậy. Rõ ràng tình hình trật tự, trị an trong toàn quốc được phản ảnh bởi lực lượng công an khu vực này. Trong toán học, yêu cầu tập trù mật là "không quá đếm được", ngoài ý nghĩa tiết kiệm, còn có ý nghĩa hết sức quan trọng vì có thể lý luận, chứng minh hay xây dựng các đối tượng toán học liên quan bằng phép quy nạp hữu hạn được.
- Xa và gần: Phép toán lấy giới hạn là đặc trưng của ngành giải tích. Nói đến khái niệm giới hạn tức là phải biết cách diễn tả khái niệm “gần, xa” và đo đạc được độ “gần, xa” ấy. Cách tự nhiên là dùng khái niệm khoảng cách, mô phỏng khoảng cách thông thường, bằng cách giữ lại một số tính chất tiêu biểu để có thể nói chuyện xa chuyện gần giữa các đối tượng khá tổng quát. Tuy nhiên, có thể diễn tả sự gần hay xa nhau cách khác, chẳng hạn ta hãy khoanh vùng các đối tượng ấy bởi những “lân cận”. Ðiều này trong cuộc sống cũng thường gặp. Ví dụ, thầy X hỏi: “ Trò A và trò B ở có gần nhau hay không?” Trò A trả lời: Dạ, em ở cách B khoảng 100m. Trò B thì nói: Em ở cùng một xóm với trò A. Hai trò cũng nói lên một ý: Nhà của chúng khá gần nhau. Tuy nhiên mỗi trò diễn tả một cách. Trò A dùng ngôn ngữ “mêtric = khoảng cách”, trò B nói theo giọng điệu “tô pô”. Ta biết về mặt toán học, khái niệm tôpô tổng quát hơn “mêtric”.
- Nhưng tô pô là gì? Nói một cách nôm na, tô pô là môn học nghiên cứu những cái không thay đổi (bất biến) qua các phép biến dạng liên tục. Bạn hãy lấy một mảnh cao su, trên đó vẽ các đường thẳng, đường cong, hình tròn, hình chữ nhật, hình vuông, vẽ các điểm lung tung trên miếng cao su này. Sau đó bạn kéo dãn hay co lại, vặn vẹo miếng cao su (nhưng nhớ đừng làm rách vì chỉ được biến dạng liên tục) và xem thử cái gì bị thay đổi, cái gì không? Rõ ràng tròn, vuông, thẳng, cong trên miếng cao su không còn giữ nguyên qua bàn tay của bạn. Chỉ thấy những điểm nằm trong hình tròn chẳng hạn, dù bạn có kéo dãn miếng cao su kiểu gì thì các điểm này vẫn nằm trong cái đường cong kín tạo ra bởi đường tròn ban đầu ...
- Khái niệm hai mêtric tương đương tôpô. Ta thấy rằng mọi mêtric đã cho trên một tập luôn luôn tương đương với một mêtric bị chặn. Thật vậy, nếu d(x,y) là một mêtric cho trên X thì d*(x,y) =min (d(x,y), 1) là một mêtric bị chặn, tương đương với d(x,y). Việc chứng minh chặt chẽ theo logic toán học thì không có điều gì cần bàn cãi, tuy nhiên về mặt trực giác, người học có điều gì chưa yên tâm. Chúng ta có thể giải thích thêm là việc khảo sát giới hạn có ý nghĩa nếu các đối tượng ấy đủ gần với nhau, còn đã xa với một khoảng cách nào đó rồi thì xa thêm cũng chẳng quan trọng gì. Một ví dụ thực tế để minh họa như sau: Thời trước, việc tiếp xúc, liên lạc cá nhân trong nước với nước ngoài có những mức độ khó khăn khác nhau. Giả sử d(x,y) là con số biểu thị mức độ liên lạc tình cảm giữa anh x và chi y. Khi họ cùng ở trong nước (xem như là khá gần nhau) thì d(x,y) và d*(x,y) có thể xem như nhau, nhưng khi x ở Việt Nam, còn y ra nước ngoài, dù gần như ở Lào hay xa ở Mỹ thì lúc ấy giữa x và y cũng xem như là xa "vời vợi". Do vậy, ra khỏi một phạm vi nào đó, d(x,y) không đóng vai trò quan trọng nhiều trong việc khảo sát sự gần nhau vì đã xa thì đằng nào cũng xa rồi.

4. Cố tình lạm dụng từ ngữ, thuật ngữ.

Ta nhận thấy các khái niệm và ngôn ngữ toán học được xây dựng, trình bày rất rõ ràng, chính xác. Cho dù chuyển dịch sang bất cứ tiếng nói của nước nào, người ta không mắc phải những nhầm lẫn, mơ hồ. Việc đánh đồng ngôn ngữ toán học với ngôn ngữ bình thường nói chung là không nên, chẳng hạn khái niệm “đếm được” trong toán và ngoài toán thì khác nhau. Tuy nhiên trong một số ngữ cảnh nhất định, việc lạm dụng ngôn ngữ đời thường đưa vào toán hoặc từ toán ra đời thường có thể hợp lý và giúp người học thay đổi không khí học tập.
- Đưa ngôn ngữ đời thường vào toán: Khi nghiên cứu một cấu trúc toán học nào đó, thông thường phải lo việc “nội trị” trước rồi mới làm công tác “ngoại giao”. Chúng ta hãy nhớ lại đôi chút về cấu trúc toán học sơ khai, đơn giản nhất là tập hợp. Sau khi xử lý các vấn đề liên quan đến phần tử một tập và các phép toán về tập hợp trên các họ hàng gần gũi với nó, ta phái sứ bộ đi nơi khác để thăm dò, đó là thiết lập khái niệm ánh xạ từ tập này đến tập kia. Tương tự như vậy, khi định nghĩa nhóm, ta lập các đồng cấu nhóm, định nghĩa không gian mêtric ta xét đến ánh xạ liên tục..... Nói chung các mối quan hệ ngoại giao này phải đảm bảo được nghi thức và thông hiểu nhau, chẳng hạn phần tử trung tính, phần tử đối trong nhóm này phải ứng với phần tử trung tính, phần tử đối của nhóm kia; dãy trong không gian mêtric này hội tụ thì cũng chuyển thành dãy hội tụ trong không gian kia...
Để có được điều này, các ánh xạ phải “bảo toàn” cấu trúc của đối tượng toán học đang xét. Bây giờ trở lại với ánh xạ tuyến tính liên tục. Nếu sinh viên nắm được kỹ tư tưởng thì ngay tên gọi đã diễn ra đầy đủ nội dung:
· Ánh xạ: Quan hệ thông thường giữa hai tập.
· Tuyến tính: “Bảo toàn” cấu trúc không gian vectơ.
· Liên tục: “Bảo toàn” cấu trúc không gian mêtric.
Vậy ánh xạ tuyến tính liên tục A từ không gian định chuẩn X đến không gian định chuẩn Y là ánh xạ thoả mãn 3 điều nói trên.
Trong thực tế, việc này không khác với việc 2 quốc gia thiết lập quan hệ ngoại giao với nhau, những đối tác trong từng lãnh vực sẽ làm việc với nhau như giáo dục, kinh tế, quốc phòng, thương mại,…
- Thông thường mỗi toán thể khi xây dựng thì có khái niệm toán thể con đi kèm, ví dụ như nhóm thì có nhóm con, không gian định chuẩn thì có không gian định chuẩn con,v.v… Chúng xem như là những vật thể sinh sản vô tính. Tuy vậy, cũng có những toán thể được tạo ra từ những cặp tóan thể khác, chẳng hạn "nhóm các đồng cấu từ nhóm X vào nhóm Y", không gian L(X,Y) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian X vào không gian Y, v.v…. Minh họa: Để bắt đầu một định lý của Giải tích hàm: "Nếu Y là một không gian Banach, X là không gian định chuẩn tùy ý thì L(X,Y) là một không gian Banach", ta có thể dẫn nhập như sau: Từ 2 không gian định chuẩn bố là X, mẹ là Y sinh ra không gian L(X,Y), ta xem thử đứa con này có thừa hưởng gen di truyền nào của bố, mẹ không? Với phát biểu của định lý trên, ta thấy "đức tính Banach" được di truyền từ mẹ sang con, tính di truyền thể hiện rõ nét trong phần chứng minh định lý. Có lẽ chỉ cần dẫn nhập như vậy vừa giúp cho sinh viên đỡ chán vừa giúp họ nhớ lâu, đặc biệt có thể vận dụng "tính di truyền" này khi chứng minh định lý ấy.
- Đưa ngôn ngữ toán vào đời thường: Thực hiện nghịch đảo hoặc lấy liên hiệp của tích hai ánh xạ, toán tử được đưa vào trong cuộc sống như là làm ngược lại một quy trình nào đó. Từ công thức (gof)-1 = f -1og-1 hay (BoA)* = A*oB*, ta có thể minh họa chúng bằng những hoạt động quen thuộc, chẳng hạn như gof là động tác mang tất f rồi mang giày g để đi làm nhưng khi về nhà thực hiện cởi giày vớ thì làm theo chiều ngược lại (gof)-1 = f -1og-1 : cởi giày g-1 trước mới cởi tất f-1 ra. Tương tự, muốn ra khỏi nhà thì phải khóa cửa phòng rồi mới khóa cửa ngõ nhưng khi về thì mở của ngõ trước rồi mở của phòng sau.
- Nghịch đảo của tích nhiều ánh xạ (toán tử) thì bằng tích các nghịch đảo các ánh xạ nhưng theo thứ tự ngược lại: (fogohok)-1= k -1 oh -1 g -1 of -1 , chỉ cần minh họa bằng động tác tháo ra và ráp lại súng như khi học quân sự thì sinh viên sẽ hiểu và nhớ ngay.
- Những cách nói “túi tiền của mình là tập rỗng”, “chuyện ấy chỉ là ép-si-lon, không đáng để ý”, “tình cảm của bọn chúng phức tạp lắm, như một phương trình vô nghiệm,…” có thể được sinh viên dùng nhưng ít mang nội hàm toán học.
...(còn tiếp)...

Liên hệ Toán học với thực tiễn - Phần 1

Mục này sẽ trích đăng bài viết "Một số kinh nghiệm trong việc liên hệ các yếu tố toán học với thực tiễn" của PGS.TS Nguyễn Hoàng
1. Minh hoạ nhờ chuyện cổ tích, chuyện vui.
Nhiều chuyện cổ tích trong và ngoài nước đôi khi ẩn chứa một sự kiện toán học nào đó ta có thể khai thác để kể trong lúc giảng bài đến chủ đề phù hợp. Vài ví dụ quen thuộc có thể dẫn ra như sau:
- Chuyện Vương Khải và Thạch Sùng khoe của: "Nhà anh có bất cứ bảo vật gì thì nhà tôi cũng có," Thạch Sùng tuyên bố. Vương Khải chấp nhận thách thức đánh cuộc để rồi cuối cùng Thạch Sùng ôm hận thất bại vì còn thiếu mẻ kho, có thể minh hoạ hai tập hợp không có cùng lực lượng.
- Chuyện về nhân vật Nasreddin của xứ sở BaTư. Một lần, nhà thông thái hỏi Nasreddin rằng, có bao nhiêu sợi lông trên đuôi con lừa mà ông ta đang cưỡi. Nasreddin trả lời rằng nó đúng bằng số râu của nhà thông thái. Khi yêu cầu chứng minh, Nasreddin bảo như sau: "Cứ mỗi lần ông nhổ một sợi lông trên đuôi lừa, tôi sẽ nhổ một sợi râu của ông. Chừng nào đuôi lừa trụi lông thì râu ông cũng sẽ hết. Đó là chứng minh".
Như vậy, ta có ví dụ về cách chứng minh 2 tập có cùng lực lượng bằng việc thực hiện một song ánh.
- Câu chuyện về anh chàng cạo râu không tự cạo cho mình: Chúng ta biết rằng, khái niệm "tập hợp" ban đầu được dùng rộng rãi nhưng chẳng mấy chốc người ta thấy rằng nó cũng lộn xộn, mâu thuẫn. Có ông thợ cạo, vốn là cư dân của làng Toán, tuyên bố: "Tôi chỉ cạo râu cho những người đàn ông nào của làng Toán mà không tự cạo râu". Như thế các đấng nam nhi của làng Toán chia làm 2 nhóm: nhóm tự cạo râu và nhóm không tự cạo râu. Vậy thì ông thợ cạo thuộc nhóm nào đây? Nếu thuộc nhóm 1 tức là nhóm tự cạo râu nên ông không cạo cho những người tự cạo râu, tức là ông không cạo cho ông. Nhưng nếu như vậy thì ông thuộc nhóm hai. Nếu ở nhóm 2 thì ông sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc nhóm 2. Lúc đó hoá ra ông lại tự cao râu cho mình. Té ra ông ấy thuộc loại đại khó tính, xếp vào nhóm nào cũng gặp mâu thuẫn cả! Câu chuyện này minh họa cho mâu thuẫn khi xét đến "Tập hợp của tất cả các tập hợp".
2. Minh hoạ nhờ ca dao, văn thơ.
- Chuyện vuông, tròn: Khi mô tả hình cầu đơn vị trong không gian Rn theo các mêtric khác nhau, chúng ta có các hình cầu thông thường hay hình lập phương đều được gọi chung là hình cầu. Chúng nó là tròn hay vuông tuỳ theo ta chọn mêtric loại gì, nghĩa là tròn, vuông phụ thuộc vào chủ quan của con người. Cũng vậy, hình tròn đơn vị trong mặt phẳng R2 với hệ toạ độ Đề các là tập {(x,y) x2 + y2 £ 1} nhưng trong toạ độ cực thì nó chính là hình chữ nhật [0,2p] x [0,1]. Câu ca dao thích hợp cho các trường hợp này là:
“Thương nhau củ ấu cũng tròn,
Ghét nhau quả bồ hòn cũng méo”
vì chưng tròn hay méo phụ thuộc chủ quan, tình cảm hay hệ quy chiếu của chủ thể.
- Việc diễn tả tính phụ thuộc liên tục nghiệm của phương trình theo dữ kiện ban đầu (tức là sự ảnh hưởng, tác động của môi trường lên nghiệm của phương trình) có thể diễn tả bằng câu “Gần mực thì đen, gần đèn thì sáng” hoặc “ Ở bầu thì tròn, ở ống thì dài”.
- Diễn tả 2 chuẩn (hoặc 2 mêtric) cho trên một tập không tương đương với nhau, ta có thể dùng thành ngữ “Gần nhà, xa cửa ngõ”, (trường hợp giữa hai nhà có một giòng sông chia đôi, khoảng cách một bên tính theo đường chim bay, một bên tính theo thời gian đi thực tế, chẳng hạn) hoặc bài thơ “Xa cách” của Xuân Diệu:
“ Có một dạo anh ngồi xa em quá
Anh bảo em ngồi xích lại gần hơn.
Em ngồi gần anh lại thấy xa hơn... "
Đó là do 2 mêtric hình học và mêtric tình cảm giữa các đối tượng "anh, em" không tương đương.
...(còn tiếp)...

Số e - Trong Giải tích

Lý do chính để đưa ra số e, đặc biệt trong giải tích, là để lấy vi phân và tích phân của hàm mũ và logarit. Một hàm mũ tổng quát y=a^x có đạo hàm dưới dạng giới hạn:

Giới hạn ở bên phải độc lập với biến x: nó chỉ phụ thuộc vào cơ số a. Khi cơ số là e, giới hạn này tiến tới một, và do đó e được định nghĩa bởi phương trình:
Do đó, hàm mũ với cơ số e trong một số trường hợp phù hợp để làm giải tích. Chọn e, không như một số số khác, là cơ số của hàm mũ làm cho tính toán chủ yếu về đạo hàm đơn giản hơn rất nhiều.
Một lý do khác đến từ việc xét cơ số logarit a. Xét định nghĩa của đạo hàm của logax bởi giới hạn: Một lần nữa, có một giới hạn chưa xác định mà chỉ phụ thuộc vào cơ số a, và nếu cơ số đó là e, giới hạn là một. Vậy Logarit trong trường hợp đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên (thường được kí hiệu là "ln"), và nó cũng dễ dàng lấy vi phân vì không có giới hạn chưa xác định nào phải thực hiện trong khi tính toán.
Do đó có hai cách để chọn một số đặc biệt a=e. Một cách là đặt sao cho đạo hàm của hàm số ax là ax. Một cách khác là đặt sao cho đạo hàm của logarit cơ số a là 1/x. Mỗi trường hợp đều đi đến một lựa chọn thuận tiện để làm giải tích. Thực tế là, hai cơ số có vẻ rất khác nhau này lại chỉ là một, số e.

Các đặc điểm khác
Một số đặc điểm khác của số e: một là về giới hạn dãy, một cái khác là về chuỗi vô hạn, và vẫn còn một số khác về tích phân. Trên đây ta đã giới thiệu hai tính chât:
1. Số e là số thực dương duy nhất mà : Đạo hàm của hàm số mũ cơ số e chính là hàm số đó

2. Số e là số thực dương duy nhất mà

Các tính chất khác sau đây cũng được chứng minh là tương đương:
3. Số e là giới hạn

4. Số e là tổng của chuỗi vô hạn trong đó n! là giai thừa của n.

5. Số e là số thực dương duy nhất mà

(nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol f(t) = 1 / t từ 1 tới e là bằng một)

Số e - Ứng dụng

Bài toán lãi suất kép

Jacob Bernoulli đã khám phá ra hằng số này khi nghiên cứu vấn đề về lãi suất kép

Một ví dụ đơn giản là một tài khoản bắt đầu với $1.00 và trả 100% lợi nhuận mỗi năm. Nếu lãi suất được trả một lần, thì đến cuối năm giá trị là $2.00; nhưng nều lãi suất được tính và cộng hai lần trong năm, thì $1 được nhân với 1.5 hai lần, ta được $1.00×1.52 = $2.25. Lãi kép hàng quí ta được $1.00×1.254 = $2.4414…, và lãi kép hàng tháng ta được $1.00×(1.0833…)12 = $2.613035….

Bernoulli để ý thấy dãy này tiến tới một giới hạn với kì lãi kép càng ngày nhỏ dần. Lãi kép hàng tuần ta được $2.692597… trong khi lãi kép hàng ngày ta được $2.714567…, chỉ thêm được hai cent. Gọi n là số kì lãi kép, với lãi suất 1/n trong mỗi kì, giới hạn của n rất lớn là một số mà bây giờ ta gọi là số e; với lãi kép liên tục, giá trị tài khoản sẽ tiến tới $2.7182818…. Tổng quát hơn, một tài khoản mà bắt đầu bằng $1, và nhận được (1+R) đô-la lãi đơn, sẽ nhận được eR đô-la với lãi kép liên tục.


Phép thử Bernoulli

Số e cũng có ứng dụng trong lý thuyết xác suất, trong đó nó phát triển theo cách mà không hiển nhiên liên quan đến độ tăng hàm mũ. Giả sử rằng một con bạc chơi slot machine, một triệu lần, kỳ vọng được thắng một lần. Khi đó xác suất mà con bạc không thắng được gì là (xấp xỉ) 1/e.

Đây là một ví dụ về phép thử Bernoulli. Mỗi lần con bạc chơi một lượt, có thêm một trong một triệu cơ hội thắng. Việc chơi một triệu lần được mô hình hóa qua phân phối nhị thức, có liên hệ mật thiết với định lý nhị thức. Xác suất thằng k lần và thua các lần còn lại là
Đặc biệt, xác suất không thắng lần nào (k=0) là
Số này rất gần với giới hạn sau (1/e )
...(còn tiếp)...

Số e - Lịch sử

Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất bản vào 1618 trong bảng phụ lục của một công trình về logarit của John Napier. Thế nhưng, công trình này không chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh sách các logarit tự nhiên được tính toán từ hằng số e. Có thể là bảng này được soạn bởi William Oughtred. Chỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện bởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá trị của biểu thức:
Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểu diễn bởi chữ cái b, là trong liên lạc thư từ giữa Gottfried Leibniz và Christiaan Huygens giữa 1690 và 1691. Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số vào 1727, và việc sử dụng e lần đầu tiên trong một ấn bản là cuốn Mechanica của Euler (1736). Trong những năm sau đó một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ cái c, e trở nên phổ biến và cuối cùng trở thành tiêu chuẩn.

Lí do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưa được biết, nhưng có thể đó là chữ cái đầu tiên của từ exponential (tiếng Anh: nghĩa thông thường là tăng nhanh chóng, nghĩa trong toán học là hàm mũ). Một khả năng khác đó là Euler sử dụng nó bởi vì nó là nguyên âm đầu tiên sau a, chữ cái mà ông đã sử dụng cho một số khác, nhưng tại sao ông lại sử dụng nguyên âm thì vẫn chưa rõ. Dường như không phải Euler sử dụng chữ cái đó bởi vì nó là chữ cái đầu trong tên của ông, do ông là một người rất khiêm tốn, luôn cố gắng tuyên dương đúng đắn tới các công trình của người khác.

...(còn tiếp)...

Trăng khuyết

(Một chút văn sẽ không lạc loài chứ nhỉ?)
Một tuyệt tác của Phi Tuyết Ba

Anh ngỏ lời yêu em
Vào một đêm trăng khuyết
Bởi tình yêu tha thiết
Biết tròn lúc đêm rằm

Em vui lúc trăng tròn
Chạnh lòng khi trăng khuyết
Anh ơi anh có biết
Trăng hay tình lứa đôi?

Sao anh lại ngỏ lời
Vào một đêm trăng khuyết
Để bây giờ thầm tiếc
Một tình yêu không tròn

Được Huy Thục phổ nhạc . Hãy thưởng thức...

Số PI - Phần 3 : Hỗ độn số PI

Một tia hy vọng đã chiếu xuống cho các nhà toán học. Cách đây sáu năm, hai nhà nghiên cứu Canada, Simon Plouffe và Peter Borwein đã cộng tác với nhà nghiên cứu Mỹ David Bailey và đã tìm ra một công thức có thể tính bất kỳ chữ số nào của pi mà không cần biết tới những chữ số nằm phía trước. Jean Paul Delahaye nhấn mạnh: “Kết quả này đã làm mọi người ngạc nhiên. Cách đây vài chục năm, những nhà toán học sẽ cười ngạo mạn, nếu bạn hỏi họ có một công thức nào như vậy không!” nhưng khuyết điểm của công thức này là nó chỉ đúng với cách viết nhị phân, chứ không đúng theo cách viết thập phân của pi (3,14159…) viết số theo lối nhị phân là cách viết trong tin học, chỉ dùng số 0 và số 1. Theo cách viết nhị phân, thì pi sẽ được viết thành: 11,0010010000111… thí dụ, công thức Bailey-Borwein-Plouffe cho phép ta tính ra chữ số lẻ thứ năm tỷ, viết theo lối nhị phân: đó là số 0. Nhưng công thức này không cho phép ta tìm ra chữ số lẻ nếu viết theo cách thập phân.

Thuy vậy, công thức này đã giúp ta hiểu rõ hơn về tánh chuẩn của pi. Nhờ “công thức thần diệu” đó, David Bailey đã nhận xét rằng, nếu viết theo lối nhị phân, thì từ bất kỳ chữ số nào, ta cũng có thể tìm ra chữ số tiếp theo. Sự nối tiếp của 0 và 1 trong cách viết nhị phân của hằng số pi chỉ là kết quả của một phép tính mà ta sẽ lặp đi lặp lại.

Mặt khác, phương thức này lại rất giống cách tính angorit trong tin học: dùng angorit để tạo ra một chuỗi số ngẫu nhiên (thí dụ như trong cách giải mật mã). Cũng có nghĩa là áp dụng công thức vào một con số nào đó, rồi lặp đi lặp lại phép tính trên các số thành vừa có, thì ta được một chuõi số thoạt nhìn có vẻ như không theo một thứ tự nào cả và hình như rất ngẫu nhiên. Một agorit như thế được gọi là “hỗn độn”: chỉ cần con số đầu tiên khácđi một chút hay công thức cũng khi một chút hayc ông thức cũngkhác đi một chút thì chuỗi số sẽ hoàn toàn khác hẳn. Như thế, các số lẻ của pi có tính cách hỗn độn.

David Bailey nói thêm: “Liền sau khi vừa khám phá ra công thức này, tôi có cảm tưởng như đã tìm ra sợi dây nối giữa số lẻ của pi và động lực hỗn hợp”. Như thế, nhà toán học linh cảm đã gặp được một thông tin quan trọng hàng đầu. Tánh hỗn độn của pi có thể cắt nghĩa cái vẻ vô trật tự của các số lẻ? Ít ra là có thể chứng minh được tánh chuẩn của nó, điều đó có nghĩa là mỗi chữ số được xuất hiện đồng đều như nhau, giống như trong dãy số vô trật tự?

David Bailey nhìn nhận: “Hồi đó, tôi chưa đủ khả năng tìm hiểu sâu vào cái trực giác này. Sự kết nối giữa tánh chuẩn và tánh hỗn hợp đã chỉ thực hiện được gần đây bởi Richard Crandall”. Và 2 nhà nghiên cứu đã công bố kết quả vào tháng 6.2001 trong tạp chí Experimental Mathematics.

Tính hỗn độn của pi có thể cắt nghĩa cái vẻ vô trật tự đó không?

Trọng tâm của việc này là thiết lập một giả định (conjecture) mới. Giả định là một giả thuyết được coi như đúng nhưng chưa được chứng minh. Với giả định Crandall-Bailey, ta có thể viết các số theo lối nhị phân bằng cách áp dụng công thức từng bước một. Đó cũng là trường hợp của pi, như David Bailey đã nhận xét.

Theo giả định của hai nhà nghiên cứu, hoặc là dãy số 0 và số 1 của các hằng số hỗn độn được xem như là một dãy tuần hoàn, mà chu kỳ sẽ lặp đi lặp lại cho đến vô tận, hoặc là những con số 0 và những con số 1 được phân phối một cách đồng nhất. Trong trường hợp thứ nhất, hằng số đó là một số chuẩn. Mặt khác, người ta cũng biết rằng pi không phải là một số hữu tỷ… do đó, pi là một hằng số chuẩn. Đó là điều phải chứng minh.

Nếu ta có thể chứng minh giả định này thì ta đã chứng minh được rằng pi là một số chuẩn. David Bailey tự hào: “Chúng tôi đã chuyển dịch một bài toán không giải đáp được của số học thành một bài toán về cơ động học hỗn độn, dễ giải đáp hơn”. Dễ giải đáp hơn? Chưa chắc như vậy đâu. “Tôi không biết bằng cách nào người ta có thể chứng minh giả định này”, Jeffrey Lagarias, một chuyên viên người Mỹ về động cơ học ngẫu nhiên, đã phải thú thật như thế sau khi đã nghiên cứu khám phá của D. Bailey.

Giới toán học đã tuần tự nghiên cứu giả định này trong vòng hơn một năm nay, nhưng chưa thấy ai đề nghị một hướng ra nào. Công bố của D. Bailey vẫn y nguyên, như thế cũng có nghĩa là thừa nhận sự thất bại. “Nếu việc làm của Bailey và Crandall đã biến đổi cách nhìn về vấn đề, nhưng nó vẫn chưa thay đổi toàn diện vấn đề. Tánh chuẩn của pi đã là một câu hỏi không giải đáp, thì bây giờ nó vẫn làmột câu hỏi không giải đáp”. Nhưng còn tệ hơn thế nữa: giả như một ngày nào đó, người ta chứng minh được giả định Bailey-Crandall thì đó vẫn chưa đủ để khẳng định rằng pi là một số chuẩn đâu. Lý do là không phải tại vì pi là số chuẩn trong cách viết nhị phân rồi sẽ là số chuẩn trong cách viết thập phân. Những con số 0 và số 1 có thể được phấn phối rất đồng thời trong cách viết nhị phân, nhưng trong cách viết thập phân (viết bằng số 0,1,2,…,9) thì vẫn chưa chắc. Muốn khùng luôn…

Những tiêu chuẩn còn khiếm khuyết

Lại còn tệ hơn thế nữa: tánh chuẩn chưa phải là tiêu chuẩn đủ để định nghĩa tánh ngẫu nhiên của một dãy số. Thử xem lại số Champemowne (0,123456789101112…). Đó là một số chuẩn vì các số lẻ được phân phối một cách đồng nhất, nhưng mà dãy số lẻ đó cũng hoàn toàn trật tự… các nhà tin học đã tìm kiếm những tiêu chuẩn khác để ước lượng tánh ngẫu nhiên tạo thành bởi những dãy số. Các dãy số con tự nhiên mà ta đã rút được (bằng cách lấy ra một con số trên mười chẳng hạn) phải là một dãy số chuẩn. Hay là tốc độ để các tần số xích lại gần nhau phải theo một công thức rõ rệt… “Người ta có thể tìm ra bao nhiêu tiêu chuẩn cũng được, nhưng những tiêu chuẩn này không bao giờ đủ định nghĩa một cách chính xác tánh ngẫu nhiên của một dãy số”. Thống kê học không thể nào cho ta một định nghĩa chính xác về ngẫu nhiên. Dù pi có thể nghiệm đúng tất cả các tiêu chuẩn thống kê, nhưng cũng đừng mong như vậy là ta đã chứng minh được tánh ngẫu nhiên của nó.

Trong suốt thế kỷ thứ 20, các nhà toán học đã hiểu rằng chỉ có một cách định nghĩa được tánh ngẫu nhiên là phải dùng lý thuyết thông tin (théorie de l’information): một dãy số là ngẫu nhiên nếu ta không thể tóm lược chúng, không thể nén chúng lại, không thể tổng hợp chúng bằng một công thức ngắn. Nhưng mà pi lại có thể tóm tắt bằng nhiều phương trình. Chẳng hạn như ta chỉ cần cộng các số 4/1- 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 +… và cứ tiếp tục như thế, rồi từ từ ta có thẻ tìm thấy tất cả các số lẻ nổi tiếng của pi: pi không phải là một số ngẫu nhiên!

Như vậy thì pi theo một trật tự huyền bí nào? Những nhà toán học thừa biết rằng họ đang phải đối đầu với với một dãy số rất đặc biệt, nhưng họ không biết là đặc biệt như thế nào. Cái trật tự duy nhất của các số lẻ của pi mà họ đã kiểm tra ra được là cái trật tự của … các số lẻ của pi! Có đáng tức không?

Đã đăng: PHẦN 1 - PHẦN 2

Lịch sử số PI - Phần 2

Một khám phá mới đây đã cho biết rằng lý thuyết hỗn độn có thể mang lại một chút trật tự cho chuỗi số lẻ đầy bí hiểm của số pi. Nhưng cái chuỗi số rắc rối này vẫn không ngừng ám ảnh các nhà toán học…

Muốn chọc tức một nhà toán học thì có một cách rất dễ: cứ bảo anh ta vẽ một vòng tròn, đo chu vi vòng tròn đó, đem chu vi đó chia cho đường kính rồi ghi lấy số thành. Mới đầu anh ta đưa ra một giải đáp phỏng chừng là: 3,14. Và nếu tính kỹ hơn, anh ta sẽ đưa ra một con số càng lúc càng nhiều số lẻ: 3,14159265… rồi anh ta lại có thể viết ra tới 200 tỷ số lẻ nếu anh ta lấy từ những tài liệu mà người ta vừa mới tính ra hai năm nay.

Cứ hỏi cảm nghĩ của anh ta về những số lẻ nhiều như thác lũ này. Có một thứ tự nào không? Các chữ số xuất hiện ra có theo một quy luật nào không? Hay là sự xuất hiện đó chẳng thưo một trật tự nào cả, xem như là các chữ số vì ngẫu nhiênmà có? Câu hỏi có vẻ hời hợt như thế nhưng nhà toán học sẽ lúng túng khi trả lời. Mà đúng như thế, anh ta không biết gì cả để trả lời cho ra lẽ, thế mới tức…

Thì đồng ý rằng chuyện đó trong thực tiễn chẳng có gì quan trọng cả. Một bài tính vật lý chỉ cần tới vài ba chục con số lẻ là cùng. Đó là một thách thức mà các nhà toán học phải đảm nhận: có hay không một trật tự trong các số lẻ của pi, một hằng số căn bản nhất? Một thách đố mà một khi chưa có giải đáp sẽ luôn ám ảnh đầu óc các nhà toán học. Vì đó cũng gần như là một việc bảo vệ danh sự.

Chỉ có một điều biết chắc chắn đã 300 năm nay: pi là một số vô tỷ, ta không thể viết nó dưới dạng phân số của 2 số nguyên. Các số hữu tỷ như ¾ (số thập phân là 0,75) hay 1/11 (0,09090909…) mà số lẻ làmột số hữu hạn hay là là một số có chu kỳ. Trong khi đó, các số lẻ của pi thì vô hạn và không thấy có một chu kỳ nào cả.

Nhưng các nhà toán học vẫn chưa thỏa mãn với nhận xét trên: vô tỷ nhưng chưa hẳn là vô trật tự. Thử lấy con số Champemowne mà khi viết các số lẻ thì cũng như ta tuần tự đếm các số nguyên: 0,12345678910111213… các con số nối đuôi nhau kéo dài tới vô tận, không lạp lại, nhưng theo một thứ tự rõ rệt. Và như thế, câu hỏi về những số lẻ của pi vẫn chưa có giải đáp. Có khác biệt nào giữa các số lẻ của số pi và một dãy số lấy ra một cách ngẫu nhiên?

Pi có phải là một số chuẩn không?

Đặc điểm chính của dãy số ngẫu nhiên đã được Emile Borel, một người Pháp, định nghĩa: tách chuẩn (normalité). Một số được gọi là chuẩn, nếu mỗi chữ số của cái chuỗi vô tận của các số lẻ xuất hiện cùng tần số. Điều đó có nghĩa là chữ số 1 là 10%, chữ số hai là 10%, và chữ số 3, chữ số 4 cho tới chữ số 9 cũng như thế. Chưa hết, những số gồm 2 chữ số cũng phải được xuất hiện cùng tần số là 1%. Những số gồm 3 chữ số với cùng tần số là 1/1000… Nói tóm lại, trong một số chuẩn, những đoạn số có cùng chiều dài phải được xuất hiện cùng tần số. Nếu một chữ số xuất hiện nhiều lần hơn các chữ số lẻ khác thì số đó không được gọi là số ngẫu nhiên .

Pi có đủ các tiêu chuẩn thống kê này không? Thoạt nhìn thì có. Năm ngoái, nhà thống kê học người Mỹ Ted Jaditz đã nghiên cứu tần số của các đoạn số cho tới 16 chữ số của pi. Và việc kiểm nghiệm thống kê này đã chứng minh rằng không có sự sai biệt đáng kể nào khi đem so sánh với một số ngẫu nhiên. Lúc đầu, ông ta thấy chữ số 7 xuất hiện ít, chỉ có 7,2% trong 500 số lẻ đầu tiên. Nhưng sau đó, cái khác thường này đã vội biến mất: chữ số 7 đã xuất hiện 9,99998% lần trong 200 tỷ số tiếp theo. Như vậy thoạt nhìn thì pi là một số chuẩn.

Nhưng khám phá này vẫn chưa làm vừa lòng các nhà toán học. Có gì để chứng minh rằng chữ số 7 lại không xuất hiện với một tần số nhỏ hơn kể từ số lẻ ngàn tỷ? Hay ngược lại, kể từ số lẻ ngàn tỷ, chữ số 7 lại xuất hiện với tần số cao hơn? Chẳng có một kiểm nghiệm thống kê nào có thể kiểm chứng được tánh chuẩn của vô tận các số lẻ…

Do đó, cái mà các nhà toán học cần là một chứng minh, một chằng chứng toán học của tánh chuẩn của pi. Và chưa thấy ai đã làm được điều đó. “Ngoài cái việc tính tần số ra, người ta vẫn chưa biết nếu tất cả các chữ số đã xuất hiện ít ra là một lần trong các số lẻ của pi”, ông Jean Paul Delahaye, nhà nghiên cứu ở Viện tin học cơ bản thành phố Lille và tác giả cuốn sách Fasciant nombre pi, đã phải bực mình thốt lên như thế.
...(còn tiếp)...
Đã đăng: Phần 1