Thực tiễn có phải là tiêu chuẩn để kiểm nghiệm các chân lý Toán học?

Thực tiễn không chỉ là cơ sở của nhận thức, mà còn là hòn đá thử vàng cho các chân lý khoa học. Những cuộc cách mạng trong khoa học thường gắn với yêu cầu về kỹ thuật của thời đại, của thực tiễn sản xuất. Nếu xã hội nảy ra nhu cầu về kỹ thuật, thì nhu cầu đó sẽ “đẩy khoa học tiến lên mạnh hơn cả chục trường đại học” (Ăng-ghen). Quan niệm các con số thống trị thế giới của Pythagore cũng là do đặc điểm kinh tế thời ấy là việc trao đổi hàng hóa chỉ chú trọng đến mặt lượng mà không để ý đến giá trị của hàng hóa; chế độ nô lệ coi con người như vật thể vật lý, đồ vật vật chất nên Toán học cổ của Hy lạp chủ yếu là hình học. Toán học phát triển triển mạnh kể từ sau thời Phục hưng cũng là do quan hệ sản xuất tư bản chủ nghĩa phát triển mạnh, sự phát triển ngành hàng hải, các cuộc đi biển yêu cầu phải nghiên cứu thiên văn mà thiên văn thì phải có Toán học mới phát triển được Sự phát triển của thành thị, nhu cầu xây dựng những công trình lớn (cả nhu cầu về hàng hải và chiến tranh nữa) đã làm cho cơ học phát triển theo và lại kéo theo sự phát triển của Toán học. Việc dùng máy móc trong sản xuất hồi thế kỷ XVII đã ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của KHTN (C. Mác khi nghiên cứu về kinh tế của CNTN đã viết rằng việc dùng máy móc hồi thế kỷ XVII, đã đem lại cho các nhà Toán học vĩ đại thời bấy giờ những chỗ dựa thực tế và những sự kích thích để sáng lập ra cơ học hiện đại). Chính những yêu cầu của môn thiên văn học và cơ học thế kỷ XVII đã đề ra nhiệm vụ cấp bách tạo ra phép tính vi – tích phân. v.v... Theo C. Mác, “vấn đề tìm hiểu xem tư duy con người có đạt tới chân lý khách quan hay không, hoàn toàn không phải là một vấn đề lý luận, mà là một vấn đề thực tiễn. Chính trong thực tiễn mà con người phải chứng minh chân lý, nghĩa là chứng minh tính hiện thực, sức mạnh, tính bên này của tư duy. Sự bàn cãi về tính hiện thực hay tính không hiện thực của tư duy tác rời thực tiễn là một vấn đề thuần túy kinh viện”
Toán học không tách rời thực tiễn nhưng tính chính xác của các chân lý Toán học có kiểm nghiệm được trong thực tiễn hay không? Mục đích cuối cùng của mọi khoa học đều là nghiên cứu để rồi cải tạo tự nhiên, nếu Toán học không thể kiểm chứng trong tự nhiên, chẳng hóa ra nó chỉ là thú vui của các nhà Toán học hay sao? Chúng ta đều biết đến tính hiển nhiên của nhiều tiên đề, định lý Toán học, nhưng thật ra, nó gây ra nghi ngờ và không đòi hỏi phải chứng minh gì, chỉ là vì chúng luôn luôn được toàn bộ hoạt động thực tế của loài người xác nhận. Định lý hình học phát biểu 3 đường cao trong một tam giác là đồng quy nhưng khi vẽ ra chúng ta lại không thấy thế thì định lý ấy cần phải xem xét lại. Tuy nhiên nhiều khi chúng ta không dễ gì kiểm nghiệm các chân lý Toán học bằng kinh nghiệm. Ngay như tiên đề về hai đường thẳng song song, chúng ta cũng không thể nào kiểm tra được: chúng ta làm sao kiểm tra được khi hai đường thẳng ấy được kéo ra vô hạn, luc đó nó có cắt nhau hay không? Gauss đã từng lấy 3 ngọn núi cách xa nhau để kiểm tra tổng của 3 góc trong tam giác nhưng cũng không thấy gì khác so với khẳng định của Euclide. Rõ ràng chúng ta phải sử dụng những phương pháp gián tiếp để kiểm nghiệm. Đó là giả định cái điều ấy là đúng, bằng phương pháp suy luận logic, chúng ta sẽ đi đến các định lý dễ kiểm nghiệm hơn.
Như vậy con đường khép kín “thực nghiệm – lý thuyết – thực nghiệm” trong Toán học không hề đơn giản, cái tính chất gắn liền với sản xuất thực tiễn không không rõ ràng như trước nữa, vì sự thực là nó còn có nguyên nhân nội tại nữa. Nói cái gì của Toán học cũng là từ thực tiễn là nói liều, và hạ thấp chính bản thân môn toán: tính độc lập tương đối của Toán học không những là tồn tại, mà nó còn rõ ràng hơn các khoa học khác nhiều.
Chúng ta cũng nên nhớ sức mạnh của phương pháp suy diễn thuần túy: nếu xuất phát từ những tiền đề đúng đắn, phương pháp suy luận chính xác thì chúng luôn thu được những kết quả phù hợp với thực tế. Đối tượng của Toán học ngày càng trừu tượng nhưng xét một cách tổng thể thì chúng lại gần với hiện thực và phản ánh hiện thực phong phú, toàn diện (điều này thì Toán học cổ điển không thể có được). “Tư duy, khi tiến từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, không xa rời chân lý, mà đến gần chân lý. Những sự trừu tượng về vật chất, về quy luật tự nhiên, sự trừu tượng về giá trị, v.v..., tóm lại, tất cả những sự trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ảnh giới tự nhiên sâu sắc hơn, chính xác hơn, đầy đủ hơn”. Điểm lưu ý cuối cùng, không nên hiểu thực tiễn như một cái gì chết cứng, nó cũng thay đổi cùng với sự phát triển của nhận thức con người. Đồng thời tiêu chuẩn thực tiễn cũng mang tính tương đối, đó là nó không bao giờ khẳng định hay phủ nhận hoàn toàn bởi bất kỳ quan niệm nào của con người. Chính con người, trên con đường chinh phục và cải tạo thực tiễn, phải làm cho các quan niệm ấy ngày càng “thực tiễn” hơn.