Toán học có nghiên cứu thực tại không? - Phần 2

Sự ra đời của phương pháp tiên đề đánh dấu một bước phát triển quan trong trong Toán học. Toán học được “hình thức hóa” bằng các tiên đề. Toán học dường như bị quy về logic học, ngay cả Triết học cũng có nguy cơ bị quy về logic toán. Đó là tham vọng của chủ nghĩa logic (logicism). Người đề xướng chủ nghĩa này là nhà Toán học, logic học tài ba B. Russell. (Russell và Godel là hai nhà logic lớn nhất thế kỷ 20). Theo Russell, toàn bộ Toán học có thể quy về logic không có nội dung vật chất, trong đó những tiên đề Toán học là những nguyên lý logic tiên thiên (có trước kinh nghiệm, không phụ thuộc vào kinh nghiệm).
Thật ra người ta từ lâu người ta đã nghĩ các mệnh đề Toán học vốn trống rỗng, không hề có nội dung vật chất. Nó hoàn toàn là sản phẩm của trí tuệ loài người chứ không biểu hiện gì về chân lý khách quan cả. Platon đã từng coi Toán học xuất phát từ những cái ở thế giới bên kia; Aristote cũng sáng tạo ra logic hình thức theo đúng nghĩa, là việc chúng ta thu được những tri thức mới từ những tiền đề nhất định được suy diễn một cách “hình thức” (theo phương pháp tam đoạn luận) bất kể nội dung của nó thế nào; còn Euclide thì hoàn toàn bằng phương pháp suy diễn trên những tiền đề nhất định mà vẫn xây dựng được một thứ hình học hoàn chỉnh; Lobachevsky khi tạo ra hình học phi Euclide cũng không tìm được một mô hình phù hợp với nó, người ta chỉ thấy nó trái hẳn với kinh nghiệm thông thường nhưng lại không tìm được mâu thuẫn nào trong cách xây dựng của ông. Như vậy có phải là trong Toán học cái gì không mẫu thuẫn thì sẽ tồn tại (như H. Poincaré, D. Hilbert quan niệm)?
Chúng ta đều biết phương pháp tiên đề dựa trên một tính chất rất quan trọng là tính không mâu thuẫn (cùng với tính đầy đủ, tính độc lập). Hilbert đã tìm cách chứng minh rằng, xuất phát từ những tiền đề nhất định chúng ta sẽ không đi đến những kết luận ngược đời nhau. Nếu chứng minh được điều này, thì việc Toán học có thể quy về logic học như Russell (và những người theo logicism) nói là điều không cãi vào đâu được. Và nếu điều này là đúng thì hóa ra Toán học chỉ là trò chơi chữ thuộc vào loại “xịn” mà thôi, và con cháu chúng ta sẽ có nguy cơ phải học nhiều thứ Toán học khác nhau (vì lúc ấy ta xây dựng Toán học thế nào mà chẳng được, chỉ cần thay đổi tiền đề của nó đi là xong). Đó sẽ là một cuộc cách mạng lớn nhất trong Toán học. Nhưng thật may là lịch sử Toán học có từ hàng năm vẫn được giữ nguyên. Russel muốn xây dựng lại Toán học trên các khái niệm của logic học thuần túy nhưng lại vấp phải khó khăn do chính những nghịch lý của ông về lý thuyết tập hợp, tạo ra. Hilbert thì bị siêu định lý của Godel làm cho công cốc. Định lý không hoàn hảo (incompleteness theorem – còn gọi là Định lý bất toàn) của Godel bảo rằng bất kỳ hệ logic nào cũng không thể nào tự chứng minh được là nó có mâu thuẫn hay không, nghĩa là mọi hệ logic đều “không hoàn hảo”. Chẳng hạn, muốn chứng minh tính không mẫu thuẫn của hình học phi Euclide, ta phải dựa vào hình học Euclide, rồi tính mâu thuẫn của hình học Euclide lại quy về tính không mâu thuẫn của số học, ... Chứng minh của Godel đã làm phá sản luôn chủ nghĩa hình thức của Hilbert lẫn chủ nghĩa logic của Russell, quan trọng hơn nó khẳng định rằng Toán học chỉ có thể dựa vào hiện thực mới “sống” được, bất cứ ai cũng không thể tạo ra một thứ Toán học mới một cách tùy tiện cho riêng mình. Và, giả sử một ngày nào đó, bỗng dưng loài người phát hiện ra một hành tinh khác y chang như Trái Đất thân yêu này, thì chắc chắn, chúng ta hoàn toàn có thể hiểu được Toán học của họ trong lúc đi bằng hai chân chứ không cần phải lộn người lên.