Thứ Tư, 31 tháng 12, 2008

Lịch và toán - Phần 1: Một chút về dương lịch

Nhân dịp đầu năm 2009, MathVn.Com xin gửi đến bạn đọc chùm bài viết về Lịch và Toán. Ta sẽ bắt đầu với lịch của phương Tây và đôi điều thú vị về nó.

Một chút về lịch sử
Lịch Julius do hoàng đế Julius Caesar đưa ra vào năm 45 trước Công nguyên. Lịch Julius chia thành 12 tháng với 365 ngày, cứ 4 năm thì thêm một ngày vào cuối tháng 2 tạo thành năm nhuận. Vì vậy theo lịch Julius thì một năm có 365,25 ngày. Nhưng độ dài của năm mặt trời là 365,242216 ngày cho nên lịch Julius dài hơn khoảng 0,0078 ngày trong một năm, tức là khoảng 11 phút 14 giây.

Để bù vào sự khác biệt này thì cứ 400 năm ta sẽ bỏ bớt đi 3 ngày năm nhuận. Cho đến năm 1582, thì sự sai biệt đã lên đến 10 ngày. Giáo Hoàng Gregory XIII quyết định bỏ 10 ngày trong tháng 10 năm đó để cho lịch và mùa màng tương ứng trở lại. Sau ngày 4 tháng 10 năm 1582 là ngày 15 tháng 10. Và để tránh sai biệt, lịch lấy năm nhuận là năm có số thứ tự chia chẵn cho 4 (như năm 1964, 1980, 2004, ...) và các năm tận cùng bằng 00 phải chia chẵn cho 400 mới là năm nhuận (năm 2000 chia chẵn cho 4 và 400 nên là năm nhuận, những năm 1700 1800 và 1900 chia chẵn cho 4 nhưng không chia chẵn cho 400 nên không phải là năm nhuận, ...). Lịch đã sửa mang tên lịch Gregory và được áp dụng cho đến bây giờ.

Một quy luật thú vị.



Lấy lịch của một tháng bất kì. Bạn hãy chọn bốn ngày sao cho nó tạo thành một ô vuông (như ô màu đỏ ở hình trên). Hãy cho tôi biết tổng của 4 ngày đó và tôi sẽ trả lời được các ngày mà bạn đã chọn.
Chẳng hạn, tổng của chúng là 104 (như trên) thì kết quả là 22.
Quy luật của nó là gì?
Gọi số đầu tiên là n. Khi đó số bên cạnh nó là n + 1 số phía dưới nó là n + 7 và số còn lại n + 8. Tính tổng 4 số này, n + n + 1 + n + 7 + n + 8=4n+16. Khi bạn đã biết tổng là S thì việc giải một phương trình bậc nhất đơn giản sẽ cho ra kết quả.

(Còn tiếp...)

Chủ Nhật, 28 tháng 12, 2008

Toán học không có nhiều ý nghĩa với xã hội

"Những gì dân Toán làm là: Tự đặt vấn đề, Tự giải quyết vấn đề rồi lại Tự hoan hô" (Nguyễn Trung Hà)
Bài báo sau đây nằm trong loạt phóng sự về những cựu học sinh giỏi Toán thành danh của báo điện tử Vietnamnet. Bài báo có nhan đề: "Người giỏi làm Toán: Rất lãng phí!" đăng ngày 21/02/2006.

Trong quá trình đi tìm nhân vật cho loạt bài này, với mục đích tiếp cận những cựu HSG quốc tế thành danh trong lĩnh vực kinh doanh, tôi nhận được không dưới 10 lời giới thiệu của nhiều doanh nhân thành đạt về Nguyễn Trung Hà.

Cuộc phỏng vấn được thực hiện cuối tháng 11/2005. Thẳng thắn và thực tế, đôi chút cực đoan (?), nhiều ý kiến của anh có thể sẽ gây ra tranh cãi hay dư luận trái chiều.

Toán học không có nhiều ý nghĩa với xã hội



Trước khi là một nhà đầu tư, anh từng là một học sinh giỏi Toán?

Năm 1978, đạt giải ba HSG Toán quốc tế ở Rumani, cùng 40 người đạt điểm cao nhất trong kỳ thi đại học, tôi được gửi lên trường quân sự trên Vĩnh Phúc để ôn luyện tiếng, chuẩn bị cho việc sang Nga.

Năm sau, tôi sang MGU (ĐH Tổng hợp Moskva) học khoa Toán Cơ, ngành Toán lý thuyết, lại chọn Lý thuyết số, môn cổ điển và kém ứng dụng nhất trong các nhánh của Toán học. Nhưng chưa hết đại học thì tôi chán. Tôi tự nhận thấy học Toán xong, rồi cũng không để làm gì.

Vì sao?

Tôi cho rằng, những gì dân Toán làm là: Tự đặt vấn đề, Tự giải quyết vấn đề rồi lại Tự hoan hô. Nói chung là một chuỗi công đoạn “tự sướng” và ít có ích cho người khác. Nói cách khác, giá trị của việc học Toán và làm Toán không cao.

Toán học vẫn được coi là nền tảng của nhiều môn khoa học khác. Những điều anh nói dường như phủ nhận một quan niệm được rất nhiều người thừa nhận?

Kiến thức Toán khá cần thiết trong nhiều lĩnh vực, trong cuộc sống. Nhưng, những thứ thực sự cần thiết cũng chỉ ở tầm vừa vừa thôi, nói nôm na là 1+1=2, chứ không phải những cái hoành tráng, trừu tượng, cao siêu. Mà, Toán học bây giờ đi xa lắm rồi, ở tận chân trời nào rồi.

Đa phần những vấn đề mà các nhà Toán học nghiên cứu, là do họ tự đặt ra, tự thấy rằng nó rất có ích, rồi tự đi tìm lời giải và cũng chỉ có họ, hoặc những người theo đuổi Toán ở tầm của họ mới hiểu được.

Vì không có ai hiểu được ngoài mấy ông Toán biết với nhau, nên cũng là các ông tự hoan hô nhau. Ông này khen ông khác giỏi, khen những vấn đề xyz nào đó là giải quyết được mấu chốt, là có ý nghĩa, ảnh hưởng rất lớn... và dân chúng, xã hội, thực ra là chẳng hiểu tẹo nào về vấn đề đó... tung hô theo.

Anh có nghĩ rằng những điều này sẽ động chạm?

Tất nhiên, bất cứ chuyện gì nhạy cảm cũng có thể động chạm. Nhưng, tôi nói với tư cách không phải người ngoại đạo. Tôi cũng từng học Toán. Rất, rất nhiều bạn bè tôi cũng là dân Toán... Trong giới Toán nói chuyện với nhau cũng rất hiểu điều đó. Chúng tôi còn dùng nhiều từ "trần trụi" hơn nhiều: chẳng hạn thủ dâm tư tưởng (cười to). Vô nghĩa! Ông này Tiến sỹ, anh kia Tiến sỹ... toàn giải quyết vấn đề vô nghĩa.

Anh từng học Toán, tức là cũng đã từng thấy rằng nó có ích. Mất bao lâu để anh đi đến kết luận ngược như bây giờ?

Tất nhiên, ngày xưa, tôi không nghĩ ngay được cái điều mà tôi thấy bây giờ. Thời đầu, cũng như rất nhiều SV Toán khác, tôi rất thích làm Toán. Mỗi lần tự giải quyết được một bài toán, một vấn đề nào đó thì thấy rất sướng. Và, nếu có ai đó xung quanh hoan hô thì càng vui, hay tự mình hoan hô cũng thấy hay, cũng đủ để thoả mãn (cười).

Nhưng, cuộc đời có những thời điểm, những cột mốc có thể làm người ta thay đổi cách suy nghĩ. Thay đổi một cách sâu sắc, về chất.

Năm 1982, tôi bị lao phổi và phải vào nằm trong Viện lao Moskva mất 1 năm. Thời gian này, rảnh rỗi nên tôi có nhiều thì giờ suy ngẫm về cuộc đời. Sau khi ra Viện, tôi trở thành người khác hẳn, trong cách nhìn cuộc sống. Tự dưng, tôi nhận thấy một cách rất rõ ràng sự vô nghĩa của những cái mình đang theo đuổi, cụ thể là việc học Toán, hay việc mình muốn đạt cái nọ, cái kia.

Người giỏi làm Toán là sự lãng phí

Nhưng, có một thực tế là dân Toán đa phần là những người giỏi và họ dễ thành công, kể cả khi chuyển sang các ngành khác. Tức là Toán học có ích, ít nhất về mặt đào tạo?

Có một số khái niệm bị đóng khung trong suy nghĩ. Nói thịt nghĩ ngay là thịt lợn, chứ không phải thịt gà, thịt cừu, thịt bò... Nói giỏi hầu như chúng ta cũng hiểu là giỏi Toán, nếu giỏi Văn, giỏi Lý, Hoá, Nhạc, Hoạ... sẽ cần phải chua thêm mấy cái danh từ phụ.

Cá nhân tôi nghĩ có sự nhầm lẫn ở đây. Nhiều người nghĩ những người học giỏi Toán khi nhảy sang các ngành khác làm cái gì cũng dễ giỏi, dễ thành công, tôi lại cho rằng, những người giỏi Toán, bản thân họ là những người giỏi, tức là họ có nhiều tố chất về trí tuệ để dễ thành công... Mà người giỏi thì học gì, làm gì cũng dễ giỏi kể cả học Toán.

Chẳng qua, người có trí tuệ tốt từ bé thường được hướng, hoặc tự chọn vào những môn mang tính khoa học, nhất là Toán. Thành ra, mật độ những người giỏi "dính dáng" đến Toán là tương đối cao, nên dẫn đến sự đánh đồng khái niệm: dân Toán là dân giỏi. Sự lãng phí ở đây là lẽ ra phải cho những người giỏi đó học ngành khác hữu ích hơn là Toán.

Nhưng rõ ràng, rất nhiều kiến thức của Toán đã và đang được áp dụng trong rất nhiều ngành nghề khác nhau?

Chúng ta nhầm lẫn trong việc định nghĩa thế nào là ứng dụng, dẫn đến hiểu Toán có ứng dụng trong nhiều ngành. Không phải vậy. Toán hoàn toàn không có ứng dụng. Tôi nghĩ kiến thức Toán ở bậc ĐH là bắt đầu không cần thiết. Càng nghiên cứu lên cao, Toán càng ít tính ứng dụng hơn. Lúc đó, nó chỉ phục vụ cho những sự phát triển nội tại của bản thân nó thôi. Tôi cho rằng vô ích. Nếu muốn nước ta đi nhanh hơn thì có lẽ nên bỏ qua ngành học này.

Anh có mạnh miệng quá không?

Đó là sự thực. Để nói là vô ích hay không thì xác định xem ta đứng ở điểm nào đó để nhìn. Nhiều người cứ lý luận, hoặc có thể chính họ tin rằng, Toán hữu ích. Nhưng, nhìn ở góc độ phát triển kinh tế xã hội nước ta hiện tại, cống hiến của Toán thực sự không có gì.

Vậy, anh nói thế nào, khi vẫn luôn có những hình thức tôn vinh đóng góp của các nhà Toán học? Và, cả những nỗ lực và sự đầu tư để Toán phát triển. Phải chăng xã hội nhầm lẫn hết?

Toán là một trò chơi. Tôi ví dụ, thi nhảy cao chẳng hạn, cũng là một trò chơi, một trò thể thao. Bản thân cái việc nhảy cao, chẳng có ý nghĩa gì cả, ngoài 1 điều duy nhất là có tác dụng về tinh thần. Nó có thể thoả mãn khát khao chinh phục một cái gì đấy, hay thúc đẩy cho nhiều người yêu thích và hứng thú luyện tập thể dục.

Toán học cũng vậy. Học tiếp lên, nghiên cứu tiếp lên, có thể ra được những cái khá hơn cái cũ, cũng như nhảy cao, cố gắng 2m10, rồi 2m12 sẽ đạt được mục tiêu là chinh phục kỷ lục nào đó. Ngoài ý nghĩa này thì toàn bộ công đoạn nỗ lực đó là vô nghĩa.

Vô nghĩa? Giải thưởng Clay của Ngô Bảo Châu được nhiều người coi là niềm tự hào là một ví dụ phản bác lại nhận định của anh?

Đúng, nó là sự tự hào. Về khía cạnh này thì rất có ý nghĩa. Những nhà Toán học thành công, cũng như những VĐV thể thao thành công sẽ nuôi dưỡng được niềm tự hào cho những người liên quan, trong gia đình, thậm chí trong cộng đồng của họ. Nhưng, điều ấy có ý nghĩa gì khác, cũng như kỷ lục thế giới có ý nghĩa gì, ngoài cái danh kỷ lục?

Đừng vẽ son, tô hồng quá cho dân Toán. Phát triển xã hội thì đừng đưa những đầu óc tinh tuý nhất vào ngành Toán, để họ trăn trở với những việc tự đặt vấn đề rồi tự giải quyết vấn đề. Lãng phí. Những đầu óc ấy có thể làm được việc khác, hữu ích hơn nhiều lần.

Anh lấy những tiêu chí nào để đánh giá một cái gì đó là hữu ích?

Đơn giản thôi, một cái gì đó hữu ích là khi người ta dùng nhiều. Thực ra, chính xác hơn, dùng nhiều mới là có khả năng hữu ích chứ chưa dám chắc là hữu ích thật sự. Chứ nhiều kiến thức Toán cao siêu, trừ một bộ phận rất nhỏ của xã hội hiểu được, còn đa phần chẳng ai hiểu gì, thế thì nói gì đến dùng hay ứng dụng.

Những nhà Toán học hi sinh vì xã hội để đi lừa đảo đám đông. Họ có đóng góp rất ít ngoài việc việc làm gương để khích lệ thêm nhiều trí tuệ tinh hoa khác đi theo vào con đường đó, mà chính ra, ngay cả điều này không nên nhìn nhận là đóng góp.

Cố gắng không lấy bằng nếu không bắt buộc

Quay lại trường hợp của anh, sau khi ra viện và thay đổi nhận thức về cuộc sống, anh hiện thực hoá suy nghĩ của mình như thế nào?

Sau đó, thực sự tôi chỉ học tiếp sao cho cốt hoàn thành nốt bậc học vì không còn cảm thấy hứng thú nữa. Tôi dành thời gian để học những thứ khác, tự học và học qua các thầy. Định kiếm thêm cái bằng Tâm lý nhưng thậm chí, tôi thấy ngay cả việc này cũng vô nghĩa nốt.

Về sau này, tôi vẫn theo học nhiều thứ khác, nhưng cố gắng không lấy bằng làm gì nếu không bắt buộc.

Năm 1985, tốt nghiệp MGU, tôi xác định ngay tinh thần không học tiếp làm gì, và về nước. May mắn, tôi có việc ngay tại Viện Cơ học, thuộc Viện Khoa học Viện Nam.

Thời đó, cơ chế chưa thoáng và xin việc không dễ, chắc anh có thuận lợi về mặt quan hệ?

Không biết vì lý do gì đấy, tôi được nhận ngay (cười). Có thể nói con đường sự nghiệp của tôi rất thuận lợi.

Anh bắt đầu nghiêng sang việc kinh doanh như thế nào?

Hồi đó, Viện Cơ thuộc dạng khá nhất về mặt năng động ứng dụng, làm kiểu chân trong chân ngoài...

Các bác lãnh đạo Viện lúc đó như bác Đạo (Nguyễn Văn Đạo), bác Điệp (Nguyễn Văn Điệp) đều yêu quý và tạo điều kiện cho nhân viên làm thêm bên ngoài. Chúng tôi lập nhóm ứng dụng cơ học vào điện lạnh, sấy… Hợp đồng ký dưới danh nghĩa của Viện, và Viện được phần trăm. Sau này, khi thấy việc tách ra riêng, có con dấu riêng sẽ thuận lợi hơn về mặt kinh doanh và cũng có lợi hơn, chúng tôi lập công ty.

Năm 1989, tôi lập công ty Zodiac (tên tiếng Việt là Hoàng đạo), trực thuộc Hội Tin học, kinh doanh máy móc, thiết bị tin học. Sau khi có Luật Doanh nghiệp (năm 1991), chuyển thành công ty TNHH. Dần dần, do nhu cầu phát triển mà những mảng kinh doanh sau này như ngân hàng, bất động sản, tin học… là sự tiến lên và mở rộng theo sự phát triển tất yếu.

Tức là, anh đến với kinh doanh do sự đưa đẩy của thời cuộc? Thời đó, với các nhà khoa học như các anh, tính riêng lương có đủ sống không?

Đủ, bằng chứng là tôi vẫn sống đây (cười). Không thể nói do đồng lương không đủ sống mà người ta chuyển sang kinh doanh được. Kinh doanh là việc tự thân.

Có thể, có những sai lầm lại dẫn đến thành công. Mình tưởng rằng mình giỏi và có thể làm được điều gì đó, nên cứ thế làm, và làm được, đâm ra lại càng nghĩ rằng mình giỏi thật. Sau này, khi có nhiều kinh nghiệm hơn rồi, nhìn lại mình biết trong những cái làm ấy có nhiều sai sót.

Tôi ra kinh doanh bắt đầu từ việc nghĩ rằng, mình làm kinh doanh giỏi. Thực sự, bây giờ tôi không ưa kinh doanh, mà lại thích làm Toán hơn.

Có mâu thuẫn với điều anh khẳng định: Toán là lãng phí và vô nghĩa?

Không mâu thuẫn. Làm Toán như một trò chơi thì vẫn thấy nó hay, nó đẹp. Làm Toán như một sự thủ dâm tinh thần thì vẫn tự thấy sướng, thấy hứng thú (cười). Mặc dù đúng là những trò chơi, hay sự "tự sướng" chẳng có ý nghĩa gì đối với xã hội. Còn kinh doanh không thấy vui, vì nó càng ngày càng bẩn.

Cụ thể hơn là cái gì bẩn: môi trường?

Tôi quen với môi trường logic hơn. Môi trường kinh doanh bây giờ có nhiều sự phi logic, đôi khi kết quả đạt được không phụ thuộc bản thân ý tưởng kinh doanh mà còn nhiều điều kiện phụ khác.

Muốn đầu tư vào những lĩnh vực liên quan đến công chúng

Cùng một lúc sở hữu nhiều công ty trong nhiều lĩnh vực, anh làm thế nào để vận hành và quản lý tốt?

Nói chung, ở tất cả mọi công ty, tôi đều không làm gì quá sâu sát. Thực ra thì người ta không thể biết được nhiều thứ, quan trọng là biết tổ chức. Quản lý kinh doanh đòi hỏi các kỹ năng, còn đầu tư đòi hỏi những ý tưởng.

Tôi ít biết (và vì thế không thích) quản lý kinh doanh nhưng tôi có nhiều ý tưởng và có thể nhận biết người chuyên môn giỏi và sâu hơn mình để làm các việc. Phần việc của tôi là đưa ra định hướng, chiến lược: chẳng hạn quyết định hướng đi, xác định mục đích, thời điểm làm, khả năng sinh lời, lên kế hoạch tài chính, huy động tiền vốn, lựa chọn đội ngũ lãnh đạo chủ chốt...

Anh có mặt trong rất nhiều lĩnh vực sôi động trong nền kinh tế thị trường, trong đó anh ưu tiên cho lĩnh vực nào?

Tôi muốn đầu tư vào những lĩnh vực liên quan đến công chúng: điện ảnh, bất động sản, ngân hàng, quảng cáo, báo chí...Sự thành bại trong kinh doanh ở những lĩnh vực này ít bị ảnh hưởng bởi các cơ quan công quyền.

Hiện tại anh coi "mảng" đầu tư lớn nhất của mình là gi?

Hiện tại, tôi đang cho mình nghỉ hưu. Thời gian lúc này dành nhiều cho việc đọc sách.

Anh đọc những sách gì?

Đọc rất tạp (cười) sách lịch sử, tiểu thuyết, triết học phương Đông...

Một chút về cá nhân anh?

Tôi sinh năm 1962, dân chuyên Toán Chu Văn An, lấy vợ được 21 năm, có 2 con gái. Vợ tôi là Tiến sỹ Toán - Lý, dân chuyên Toán ĐH Tổng hợp. Tôi là người lười biếng, thích suy nghĩ hơn là hành động, thích nói phét hơn là làm.

Cảm ơn anh vì cuộc trò chuyện này.

Hoàng Lê (thực hiện)

Chưa bao giờ TỔ QUỐC đẹp đến thế - VIỆT NAM vô địch!

Nghẹt thở 92 phút cùng đội tuyển Việt Nam. Phút 93, Minh Phương đá phạt, Công Vinh chạy chỗ, lắc đầu,... và VÀO. Một - đều! 3 - 2 chung cuộc. VIỆT NAM vô địch!
Tấn Tài đã khóc. Nhiều người Việt Nam đã khóc. Khóc vì VIỆT NAM đã thực sự VÔ ĐỊCH!

Mời các bạn xem lại bàn thắng đáng giá ngàn vàng này

Chúng ta cũng không thể quên các bàn thắng tuyệt đẹp trong trận lượt đi hôm 24/12 (Việt Nam 2 - 1 Thái Lan)

(Bài được viết ngay sau khi Việt Nam giành cúp - 21:30 GMT+7 - 28/12/2008)

Hướng dẫn sử dụng LaTex - toàn tập

Trong bài viết trước, tôi đã giới thiệu một phần mềm soạn thảo Latex chuyên nghiệp của một người Việt Nam. Bài viết này, theo yêu cầu của một số bạn, sẽ giới thiệu hai tập tài liệu tiếng Việt có thể giúp bạn học LaTex một cách nhanh chóng và hiệu quả.

Tập tài liệu thứ nhất là một bản dịch của Nguyễn Tân Khoa. Một tài liệu khá đầy đủ về Latex: Download (1.96MB).


huong dan su dung latex


Tập tài liệu thứ hai sẽ giúp bạn thiết kế một luận văn tốt nghiệp đúng chuẩn. Cũng là một bản dịch từ các tài liệu nước ngoài. Tác giả bản dịch là Thái Phú Khánh Hoà: Download (550KB).

soan thao luan van bang latex
Xem thêm về một số kỹ thật nhỏ về vẽ biểu đồ bằng Latex ở đây. Phần mềm soạn thảo Latex ở đây.

Thứ Bảy, 27 tháng 12, 2008

Kỹ thuật giải một số bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Đây là bài báo của bạn Dương Đức Lâm, đăng trên Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số tháng 9 năm 2007. Nội dung bài báo không có gì mới mà chỉ là những kinh nghiệm mà tác giả học hỏi được khi còn là học sinh phổ thông. Dẫu vậy, nó vẫn rất hữu ích cho các học sinh lớp 12 ôn tập chuẩn bị thi học kì I này, và xa hơn là thi tốt nghiệp THPT và thi Đại học trong năm tới.
Photobucket
Photobucket

Cách học Toán và các lỗi cơ bản khi giải toán

(Trích: Phụ lục B: Vài phương pháp giải toán - Dương Minh Đức, Phương pháp mới học toán Đại học - Tập I: Tích phân và vi phân. NXB Giáo dục 1999)

A. Cách học toán

Ta phải học toán trước khi giải các bài toán. Sau đây là vài hình tượng so sánh các cách học toán.
+ Khi chúng ta ghi chép thật cẩn thận và học thuộc thật kỹ các định lý hoặc các lời giải của các bài tập, chúng ta đã làm việc tương tự với: bảo quản thật kỹ và đếm đi đếm lại tất cả những gì có trong một bọc, trong đó có tiền lẫn với giấy vụn, của một ông tỉ phú cho chúng ta. Thường thì trong bọc có nhiều giấy vụn hơn tiền.
+ Khi chúng ta ghi chép thật cẩn thận các ý toán và kỹ thuật toán cùng các bước chính của các chứng minh các định lý hoặc các lời giải của các bài tập, chúng ta đã làm việc tương tự với: lựa riêng tiền trong bọc nói trên, bảo quản thật kỹ và đếm đi đếm lại số tiền đó.
+ Khi chúng ta xem xét cách sử dụng các kết quả của các định lý và các bài tập cùng các ý toán và kỹ thuật toán trong phần chứng minh chúng, chúng ta đã làm công việc tương tự với: tìm cách sử dụng hiệu quả số tiền đó.
+ Khi chúng ta xem xét cách tiếp cận và cách tìm ra các chứng minh các định lý hoặc các lời giải của các bài tập, chúng ta đã làm việc tương tự với: học cách làm ra số tiền đó của ông tỉ phú.
Cách học đầu tiên rất tệ hại, ngay cả những thiên tài bị buộc học theo kiểu này cũng trở nên ngu xuẩn. Tuy nhiên còn nhiều kỳ thi trên đại học chủ yếu khảo hạch trí nhớ của sinh viên hơn là trình độ suy luận của họ: việc này vô tình đẩy một số sinh viên vào cách học thứ nhất cùng với các tệ nạn quay cóp trong các phòng thi. Chúng tôi chưa hề thấy có một công việc của sinh viên tốt nghiệp nào mà người ta phải làm toán mà tuyệt đối không được tham khảo các tài liệu. Chúng tôi mong ước ngày nào đó sinh viên chúng ta được tham khảo mọi tài liệu trong phòng thi. Chúng tôi đã áp dụng cách thi này trên hai mươi năm nay (cho cả các sinh viên năm thứ nhất) và thấy thực sự đã thúc đẩy sinh viên học một cách có rèn luyện suy luận hơn. Thực ra, phải suy nghĩ nhiều hơn khi ra đề cho cách thi này, nhưng không phải là công việc quá khó.
Các sinh viên học theo ba cách sau cùng tùy theo các mơ ước của mình. Phần hướng các dẫn bài tập trong sách này hỗ trợ các bạn học có suy luận hơn. Có điều thú vị là: khi các bạn học theo cách thứ hai, có những điều là “tiền” hôm nào thì hôm nay trở thành “giấy vụn” vì chúng trở nên quá quen thuộc với các bạn. Do đó học đúng cách chúng ta sẽ thấy chương trình học ngày càng nhẹ đi nhiều.

B. Các lỗi cơ bản khi giải toán

Sau đây là các lỗi mà chúng ta cần tránh khi giải toán.
+ Mơ ước thấy ngay lời giải khi bắt đầu giải một bài toán.
Nhiều học sinh và sinh viên mất tinh thần khi không thấy phương hướng rõ rệt nào để giải một bài toán. Bản chất của việc việc giải toán là từng bước một tiến gần hơn đến lời giải. Đừng mơ ước vô lý về có một giải pháp toàn cục ngay khi bắt đầu giải một bài toán. Có ngững sinh viên, khi được gọi lên bảng giải toán, cho chúng tôi biết họ chưa giải xong bài toán đó ở nhà. Chúng tôi yêu cầu họ viết ra những gì họ giải được về bài toán đó, sau đó chúng tôi yêu cầu họ đọc lại đề toán và những gì họ đã viết, rồi khuyến khích họ viết thêm một chút nữa. Cứ như vậy, và cả lớp bỗng thấy bài toán đã giải xong sau khi họ viết ra dòng sau cùng, giống như xem một màn ảo thuật.
Thật ra đa số các bài toán trong chương trình học đều có thể giải như vậy mà không cần có một khái niệm toàn cục về lời giải khi bắt đầu giải chúng. Đây là tác phong làm toán cần được rèn luyện để chuẩn bị cho việc đương đầu với các bài toán phức tạp trong nghiên cứu khoa học về sau này.
Vấn đề làm sao viết thêm một chút từ những gì có sẵn sẽ được trình bày trong các mục sau.
+ Lướt qua các bài toán cơ bản và dành nhiều thì giờ cho các bái toán đố.
Nhiều sinh viên coi thường các bài toán cơ bản đơn giản mà không dành thì giờ ôn tập chúng, chỉ cố giải và học thuộc các bài toán khó. Thực ra đa số các bài toán phức tạp là các bài phối hợp nhiều bài toán cơ bản. Cho nên sẽ chúng ta thấy rõ bản chất của các bài toán loại này và dễ dàng giải chúng nếu chúng ta đã thành thạo các bài toán cơ bản và nhìn ra chúng ngay trong đống hỗn độn của các bài toán phối hợp. Mặc khác thực là buồn cười khi muốn giải các bài toán tổng hợp mà chưa nắm vững các bài toán đơn giản.
Có các bài toán chỉ giải được nếu chúng ta biết vài ý toán rất đặc biệt và thường rất ít gặp trong toán học (ngay cả trong nghiên cứu toán học). Chúng tôi gọi chúng là các bài toán đố. Nếu chúng tôi bất thình lình phải giải các bài toán loại này với thời hạn vài giờ thì chúng tôi cũng có thể bị bí! Các bài toán này không giúp nhiều cho chúng ta trong việc phát triển kỹ năng làm toán. Làm một bài toán cơ bản chúng ta có thể học được cách giải cho rất nhiều bài toán khác, còn làm một bài toán đố thì hầu như chúng ta không áp dụng chúng cho bất kỳ bài toán nào khác! Làm các bài toán đố lại rất mất thì giờ. Chúng tôi sưu tập và hướng dẫn một số bài toán đố trong phần bài tập bổ sung cuối các chương sách này để giúp sinh viên giải nhanh chúng và tập trung việc học vào các bài toán cơ bản. Trong các bài thi thông thường tỉ lệ các bài toán đố ít hơn 15%, vì thế bạn nào dành nhiều hơn 15% thời gian học tập cho chúng là vô lý!
+ Sử dụng bộ óc như một tờ giấy nháp rẻ tiền.
Nhiều sinh viên học toán đến đau đầu. Chúng ta sẽ thấy không phải toán làm họ đau đầu mà chính cách làm toán của họ hại họ. Các bạn thử làm nhẩm trong đầu các bài toán sau: 57+3529\times 6. Nay các bạn thử giải các bài toán đó trên giấy nháp như sau
\quad \quad 57\quad\quad\quad\quad \quad  29

+\ 35\quad\quad\quad \times\ \ \ 6

Các bạn sẽ thấy đầu các bạn sẽ ê ẩm sau vài lần tính nhẩm và nếu dùng giấy nháp để tính toán thì không có gì khó khăn cả. Chính thói quen dùng bộ óc như một tờ giấy nháp rẻ tiền mà nhiều sinh viên cảm thấy cực kỳ mỏi mệt sau khi làm bài thi tới 120 phút trong một buổi thi dài 180 phút.

Việc dùng bộ óc như một tờ giấy nháp rẻ tiền còn xuất hiện trong các thí dụ dưới đây:
Tính đạo hàm của f(x)= mà không viết f=\sqrt u và suy ra f'(x)=\frac 1 2 \frac{u'}{\sqrt u} với u(x)=u(x)=. Thật ra rất nhiều sinh viên đã tính nhẩm các bước tính toán trên trong đầu và chỉ viết ra kết quả. Chúng ta nên viết các công thức ra giấy trước khi dùng nó. Nếu tính toán dựa vào các công thức trong đầu, chúng ta bắt bộ óc hoạt động theo cơ chế “song song”, cùng một lúc phải làm nhiều thứ khác nhau, việc này dẫn đến đau đầu và sai sót.
+ Không ghi đầy đủ các chi tiết chứng minh mặc dù các chi tiết này đều đã hiện rõ trong đầu.
Việc này xảy ra khi sinh viên cố gắng làm bài ngắn gọn hơn, tuy nhiên việc này rất tai hại. Thật ra cách viết này còn có tác hại lớn hơn nữa: nhiều khi các dòng chữ đó, hiện ra trong đầu mà không được ghi ra, lại rất quan trọng trong việc giúp ta tìm ra cách làm tiếp bài toán và hậu quả là chúng ta bị bí một cách oan uổng.
Cách làm toán tốt nhất là: trong đầu nghĩ sao thì ta viết ra như vậy, không lựa chọn hay tìm cách viết ngắn lại. Chúng ta chỉ trình bày lại cho gọn (nếu thật sự cần thiết) bài giải dựa trên một bài giải chi tiết đã được ghi ra giấy.
+ Không để ý đến các yếu tố đơn lẻ trong các sự việc cho sẵn và các sự việc phải chứng minh.
Nếu chúng ta gom các sự việc cho sẵn thành “khối giả thiết” và các sự việc phải chứng minh thành “khối kết luận” và cố tìm các cách cách chứng minh “khối kết luận” từ “khối giả thiết” thì chúng ta khó thấy được cách tìm ra một lời giải. Chúng ta phải để ý từng chi tiết nhỏ của các khối đó và liên hệ giữ các khi tiết nhỏ đó. Trong thí dụ 1 của mục sau, các bạn sẽ thấy với hai chữ B xuất hiện trong sự việc cho sẵn và sự việc phải chứng minh, chúng ta có thể làm một bước trong quá trình giải bài toán. Cho nên khi tìm kiếm lời giải của một bài toán chúng ta chú ý đến từng chi tiếtcó liên quan đến nhau (dù là những chi tiết nhỏ nhặt). Vì thế chúng tôi dùng các cụm từ ”các sự việc cho sẵn” và “các sự việc phải chứng minh “thay thế cho các cụm từ “giả thíết” và “kết luận” trong phần hướng dẫn giải toán trong sách này.

Thứ Năm, 25 tháng 12, 2008

Vài suy nghĩ về học toán phổ thông và toán đại học

1. Học toán phổ thông

Ngay từ khi vào lớp một, chúng ta đã được tiếp xúc với toán và toán là một trong những môn chính trong trường học. Tuy nhiên, toán mà chúng ta học lúc đó chí là học thuộc lòng các công thức và cách áp dụng các công thức đó theo hướng dẫn của thầy cô. Sau đây là một ví dụ:
Tính 123 \times 45, chúng ta được dạy và đến nay vẫn còn thực hiện như sau:

1 2 3
x 4 5
————-
6 1 5
4 9 2
————-
5 5 3 5

Để có được số 615 chúng ta nhân 5 với 3, được 15, ghi 5 và “nhớ” 1; nhân 5 với 2, được 10, cộng với số nhớ thì được 11, ghi 1 và nhớ 1; và cứ thế tiếp tục.
Có khi nào bạn chợt hỏi: tại sao thực hiện phép nhân theo qui tắc trên thì được kết quá đúng? Có thể trước khi đọc bài viết này, bạn cũng đã từng thắc mắc như vậy và đã tìm được câu trả lời, nhưng tôi chắc rằng, ở tuổi tiểu học, chẳng ai trong chúng ta có một câu hỏi như vậy với thầy cô. Những gì chúng ta làm là cứ thuộc lòng qui tắc như vậy. Cách học này (và những biến dạng của nó) sẽ theo đuổi đa số học sinh cho đến cấp ba, và đại học.

Lớn hơn một chút, chúng ta học nhiều thứ toán hơn nhưng cách học vẫn tương tự như tiếu học: vẫn học thuộc lòng công thức, thực hiện theo các bước đã được dạy để giải bài tập. Ví dụ phương pháp “giả sử tạm” để giải các bài toán tương tự như “vừa gà vừa chó có tất cả 36 con, 100 chân, hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?” Phương pháp chúng ta được dạy là: giả sử tất cả 36 con là chó (hay giả sử mỗi con gà có 4 chân - tức thêm 2 chân vào mỗi con gà), thì số chân tổng cộng phải là 36×4=144, như vậy dôi ra 44 chân. Do đó số gà là 44/2 = 22, số chó là 36 – 22 = 14. Thực ra mà nói, lần đầu tiên khi soạn bài viết này, tôi cũng quên mất là 44/2 = 22 là số gà hay số chó! Vì vậy, tôi phải ghi thêm cái câu trong ngoặc ở trên, để dễ hiểu hơn. Có thể một số thầy cô lúc đó cũng cố giải thích tại sao cách làm trên là đúng nhưng đa số học sinh chẳng quan tâm - nhớ cách giải thì có dễ dàng hơn không!
Sau này, khi học giải phương trình, ví dụ phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0, chúng ta lại làm như máy: Tính Delta = b^2 – 4ac, sau đó xét dấu Delta rồi dùng công thức nghiệm. Tất nhiên lúc này, các thầy cô chắc là có giải thích tại sao ta có các công thức nghiệm như vậy, nhưng phần lớn học sinh chỉ nhớ các bước ở trên thôi. Và tiếp tục như vậy cho đến lớp 12. Dĩ nhiên, có những bài toán đòi hỏi học sinh phải “suy luận” sâu hơn, nhưng thường thì các bài toán đó là “cho học sinh khá, giỏi”. Xin nói rõ ở đây là tôi không có ý định bình luận gì về cách học toán như trên ở cấp phổ thông.

Thực ra toán mà chúng ta học ở phổ thông không phải chỉ có thuộc lòng và làm theo các bước có sẵn như trên. Đặc biệt là môn hình học. Chúng ta bắt đầu được học hình học vào lớp 7 – nếu tôi nhớ không lầm. Đó là lần đầu tiên chúng ta bắt đầu học suy luận, học cách chứng minh. Và tôi chắc rằng, đa số chúng ta đều đồng ý hình học là một môn học khó. Một nguyên nhân là vì các bài toán hình học rất đa dạng, và không có chuyện “thay đổi số” thì sẽ được một “bài toán mới”. Do đó, thường thì không có một phương pháp chung cho toán hình học – hầu như mỗi bài cần một cách giải khác. Nếu học sinh học thuộc lòng bài giải thì biết bao nhiêu bài giải cần phải thuộc? Vì vậy, một học sinh muốn giỏi hình học thì phải học cách suy luận cho tốt; và theo tôi, đây cũng là cách học cho cả bậc đại học. Trong phần hai của bài viết, tôi sẽ thảo luận cách nhìn của tôi về học toán đại học.

2. Học toán đại học

Nếu bạn đang tìm một cách học toán chỉ để “vượt qua” các môn vi tích phân ở đại học mà thôi thì tôi nghĩ là bạn không cần phải tìm hiểu sâu hơn. “Kinh nghiệm” học toán 12 năm của bạn là đủ rồi – vì đa số các bài toán vi tích phân đó cũng chỉ yêu cầu bạn thuộc lòng công thức và phương pháp giải. Tuy nhiên, nếu bạn muốn hiểu sâu hơn vi tích phân, muốn đạt kết quả cao trong các bài thi, hay muốn tiếp tục học toán nhiều hơn (đặc biệt, nếu bạn là sinh viên khoa toán) thì cách học thuộc lòng công thức hay thuộc lòng các bước giải sẽ không giúp bạn đi xa được.

Nhưng như vậy thì phải học như thế nào? Trước hết, chúng ta phải có cách học “chủ động” hơn, phải nên tìm hiểu “tại sao cách làm như vậy sẽ dẫn đến kết quả đúng” và thứ hai, (tôi dẫn ý thầy Dương Minh Đức) “không nên học thuộc lòng bài giải”, mà phải học “ý toán” và “kỹ thuật toán”. Xin đọc thêm các bài viết trên. Ở đây, tôi muốn chia sẽ một cách nhìn về thế nào là học “ý toán” và học “kỹ thuật toán”, làm sao để có cho mình các “ý toán, kỹ thuật toán”?
Xem ví dụ sau: chứng minh rằng \sqrt{2} không phải là số hữu tỉ. Cách giải mà đa số chúng ta sẽ nghĩ tới (và cũng là cách mà đa số sách trình bày – và tôi cũng chắc rằng, ít ai trong chúng ta dám khẳng định “đây là cách tôi tự nghĩ ra, tôi chưa hề đọc trong sách nào hết!”) là như sau. Giả sử \sqrt{2} = a/b với a, b là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau (không có ước số chung lớn hơn 1). Như vậy ta có a^2 = 2b^2.. Do đó a phải là số chẳn, a = 2c và ta được 2c^2 = b^2. Như vậy b lại phải là số chẳn – và ta có điều vô lý, vì lúc này 2 là ước số chung của a và b. Ta thấy các bước giải bài toán này là:

(a) “giả sử \sqrt{2} là số hữu tỉ”,

(b) viết dưới dạng “a/b với a, b hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau”,

(c) “bình phương” và nhân chéo,

(d) dùng “tính chia hết cho 2” để dẫn đến “điều vô lý”.

Thực ra, ta không cần phải nhớ tất cả các bước trên! Bước (b) là hệ quả của bước (a), vì mọi số hữu tỉ phải có dạng như vậy. Bước (c) lại là một bước tự nhiên sau bước (b), vì khi có căn bậc hai và tỉ số, ta thường bình phương và nhân chéo. Như vậy những “ý toán” cho bài toán trên chỉ là “phản chứng” (bước (a)) và “tính chia hết cho 2” (bước (d)). Đây là những ý ta cần “học”. Chỉ với hai ý trên, chúng ta có thể giải những bài toán tương tự, như \sqrt{2},\quad \sqrt[3]{5} không phải là số hữu tỉ.

Thế phải “học” các “ý toán, kỹ thuật toán” như thế nào? Sau đây là một gợi ý.
Trước hết ta phải hiểu bài giải sẵn, nếu đọc một lần không hiểu thì phải đọc lại nhiều lần để hiểu – nhưng không phải là học thuộc lòng. Sau khi đã hiểu rồi thì chép riêng các ý toán và dùng chúng để viết lại bài giải, nếu bị bí thì có thể nhìn bài giải đúng ngay chỗ mình cần mà thôi. Và một bước cực kỳ quan trọng nữa là chúng ta phải giải lại bài toán dùng các ý toán mình học được: có thể 1 tuần sau khi đọc lần đầu tiên, rồi 2 tuần sau đó, …. Khi “ôn tập” như vậy, chúng ta có thể không cần phải giải lại toàn bộ bài toán, chỉ cần sắp xếp các ý chính là đủ rồi.

Chúng ta học các ý toán và kỹ thuật toán từ đâu? Câu trả lời là từ các chứng minh của các định lý trong sách hoặc trong các bài giảng của các thầy cô, hoặc trong các “gợi ý” trong các bài tập. Bài tập trong các sách của thầy Dương Minh Đức thường chứa rất nhiều các gợi ý, tuy nhiên chúng ta cũng nên suy nghĩ lời giải trước khi đọc các gợi ý đó. Để kết thúc bài viết, tôi nêu thêm một số ví dụ kèm với các ý toán.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng mọi dãy số thực tăng và bị chận trên đều có giới hạn. Dĩ nhiên muốn chứng minh được điều này, ta phải nắm rõ các định nghĩa: dãy số là gì, thế nào là dãy số tăng, thế nào là bị chặn, thế nào là có giới hạn. Bạn có thể (nếu không tự mình chứng minh được) đọc chứng minh chi tiết trong các sách vi tích phân. Điều tôi muốn đề cập ở đây là ý toán: lấy “chận trên nhỏ nhất” (sup) và chứng minh đó là giới hạn. Đây là ý chính mà tôi (và chắc rằng các đồng nghiệp của tôi) “thuộc lòng” cho bài toán trên. Rộng hơn, khi gặp một bài toán mới mà một đại lượng nào đó có tính chất “tăng” (không hẳn là dãy số tăng nữa), ta có thể nghĩ đến “chận trên nhỏ nhất” (theo một nghĩa nào đó).
Ví dụ 2: chứng minh rằng mọi dãy số thực bị chận đều chứa một dãy con có giới hạn (Bolzano – Weierstrass). Một lần nữa, trước khi giải bài toán này, ta phải nắm rõ các định nghĩa. Ý chính (mà tôi nhớ) để giải bài này là: (a) chứng minh từ dãy số đã cho, có một dãy con đơn điệu (tăng hay giảm), (b) sau đó dùng ví dụ ở trên về dãy đơn điệu bị chận. Thực ra khi viết đến đoạn này, tôi chưa nhớ lại cụ thể là mình phải làm bước (a) như thế nào, nhưng tôi nghĩ là tôi sẽ làm được nếu viết ra giấy rõ ràng.
Đó là những điều tôi muốn nói trong bài viết này. Chúc bạn thành công.

(Tác giả: Lê Long Triều)

Thứ Ba, 23 tháng 12, 2008

Giải tích hàm một biến và hàm nhiều biến - bộ sách của Viện Toán


Đây là hai cuốn sách của Viện Toán học Việt Nam. Có lẽ mua ngoài thị trường cũng có. Trong lời nói đầu của cuốn thứ nhất (hàm một biến) có đoạn giới thiệu:
Trang 236 của cuốn Giải tích I
Trong phần này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc cuốn Giải tích I của các tác giả : Ts. Đinh Thế Lục (chủ biên), Ts. Phạm Huy Điển, Ts. Nguyễn Xuân Tấn, Pts. Tạ Duy Phượng. Nội dung quyển sách bao gồm những kiến thức đòi hỏi học viên phải nắm được về bộ môn Giải tích trong năm thứ nhất bậc đại học.
Trong Chương 1 chúng tôi không trình bầy chi tiết về xây dựng trường số thực (để không làm lại phần việc của những người biên soạn giáo trình Số học), mà chỉ sử dụng lát cắt để chứng minh sự tồn tại biên của tập bị chặn, một tính chất quan trọng được dùng nhiều lần trong chương trình Giải tích, đồng thời làm quen sinh viên với môn học Tô pô đại cương thông qua các khái niệm trên đường thẳng thực. Ngoài việc sử dụng trong giáo trình này, nó giúp học viên hiểu rõ bản chất của những khái niệm trừu tượng trong lý thuyết Tô pô tổng quát. Bên cạnh những khái niệm kinh điển như: đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi hàm,... chúng tôi giới thiệu (trong Chương 7) một số một khái niệm mới của Giải tích không trơn, một lĩnh vực đang được quan tâm và ứng dụng. Chương phương trình vi phân (Chương 11) được đưa vào nhằm củng cố những kiến thức về đạo hàm, tích phân và phục vụ nhu cầu tìm hiểu các bài toán đặt ra trong cơ học, vật lý, hóa học, sinh học,... Chúng tôi không đi sâu vào lĩnh vực này (để tránh gây chồng tréo với những người biên soạn giáo trình phương trình vi phân) mà chỉ đặt mục đích giới thiệu khái niệm làm cơ sở cho việc thực hành tính toán.
Đặc biệt, có giới thiệu phần thực hành các bài tập với Maple. Sách hữu ích cho sinh viên Toán và học viên cao học chuyên ngành Giải tích.

Thứ Bảy, 20 tháng 12, 2008

Ma phương (Magic square) - Phần 3: Quy tắc Siamese

Trong phần 2, chúng tôi có nói về quy tắc Siamese để lập ma phương lẻ nhưng chưa chi tiết. Bây giờ xin nói kĩ hơn theo yêu cầu của một số bạn đọc, thông qua ma phương 5 x 5.

Quy tắc Siamese

  • Số 1 luôn viết ở ô chính giữa của dòng 1.
  • Khi mũi tên đi ra ngoài 1 cạnh thì sẽ đi vào cạnh đối diện với cạnh đó (xem vòng màu lam và vòng màu đỏ)
  • Khi mũi tên gặp góc trên cùng bên phải (ở đây là ô chứa số 15) thì sẽ chạy xuống ô nằm ngay bên dưới (Vòng màu lục)
  • Khi mũi tên gặp 1 ô đã có số trong đó rồi (Vòng màu vàng, ô chứa số 1) thì sẽ đi xuống ô nằm ngay bên dưới.Cứ như thế cho đến khi hết các ô trong ma phương.


Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu thêm một cách khác để giải ma phương bậc chẵn dạng 4n+2 sử dụng Siamese. Đặt x=4n+2 và thực hiện các phép toán sau (x^2)/2, (3x^2)/4, (x^2)/4. Chẳng hạn, xét n=3, khi đó x = 4x3 + 2 = 14 và (x^2)/2 = (14^2)/2 = 98,(3x^2)/4 = 147, (x^2)/4 = 49. Chia ma phương 14 x 14 thành 4 ma phương nhỏ 7 x 7.

  • Dùng Siamese, điền số vào ma phương nhỏ 7 x 7 nằm ở trên bên trái. Sau đó copy nó vào 3 ma phương nhỏ còn lại, tức là 4 ma phương nhỏ này hoàn toàn giống nhau, ta có bảng 1:

Quy tắc Siamese

  • Thay các số 0,(x^2)/2 = (14^2)/2 = 98,(3x^2)/4 = 147,(x^2)/4 = 49 vào ma phương trống 14x14 ta được bảng 2:

Quy tắc Siamese

  • Cộng bảng 1 và bảng 2 với nhau thì được bảng 3:

Quy tắc Siamese

  • Lập bảng 4, gồm các số cần cộng thêm hay trừ đi như sau:
    Đối với ô 7 x 7 màu trắng (tức là ô 7 x 7 ở trên bên trái) thì: n=3 cột đầu tiên là cộng thêm (3x^2)/4 = 147. Nhưng đối với hàng giữa thì ô đầu tiên không thay đổi, n=3 ô tiếp theo cộng thêm (3x^2)/4 = 147.
    Đối với ô 7 x 7 màu vàng (tức là ô 7 x 7 ở dưới bên trái) thì: n=3 cột đầu tiên là trừ đi (3x^2)/4 = 147. Nhưng đối với hàng giữa thì ô đầu tiên không thay đổi, n=3 ô tiếp theo trừ đi (3x^2)/4 = 147.
    Đối với ô 7 x 7 màu xanh (tức là ô 7 x 7 ở trên bên phải) thì: n-1=2 cột đầu tiên (tính từ phải sang) là trừ đi (x^2)/4 = 49.
    Đối với ô 7 x 7 màu hồng (tức là ô 7 x 7 ở dưới bên phải) thì: n-1=2 cột đầu tiên (tính từ phải sang) là cộng thêm (x^2)/4 = 49.

Quy tắc Siamese

  • Lấy bảng 3 cộng với bảng 4 ta có bảng 5 là kết quả cần tìm.

Photobucket



Đã đăng: Ma phương: Phần 1: Cách lập ma phương lẻ - Phần 2: Cách lập ma phương chẵn

Hình gây ảo giác - Phần 4

Những hình ảnh gây ảo giác - Phần 4. Đây là những kiệt tác nghệ thuật. Hãy quan sát thật kĩ, bạn sẽ thấy nhiều điều thú vị !

Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4
Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4
Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4
Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4
Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4
Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4
Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4
Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4
Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4
Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4
Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4
Hinh gay ao giac, nhung hinh anh gay ao giac phan 4

Bài liên quan:

Thứ Năm, 18 tháng 12, 2008

Ma phương (Magic square) - Phần 2: Cách lập ma phương chẵn

Cách lập Ma phương chẵn:

Nói chung là phức tạp hơn ma phương lẻ và ta chia chúng ra 2 loại là ma phương cấp 4n (n >= 1) và cấp 4n + 2 (n >= 1).
Đối với ma phương cấp 4n thì chỉ cần chia hình vuông ra làm các nhóm nhỏ mỗi nhóm có 4 dòng, 4 cột. Vẽ tất cả các đường chéo chính của các nhóm nhỏ này. Sau đó thì ta tiến hành đánh số từ trái qua phải, từ trên xuống dưới đối với các ô nằm trên các đường chéo.

Cách lập ma phương chẵn


Sau đó ta lại đánh số từ phải sang trái, từ dưới lên trên đối với các ô còn lại.


Cách lập ma phương chẵn


Đối với ma phương cấp 4n + 2 ( không có ma phương cấp 2). Ta sẽ chia nhỏ hình vuông ra các ô lớn. Mỗi ô lớn có 2 ô dọc, 2 ô ngang. Sau đó thì tiến hành đi các ô lớn như cách di chuyển khi thiết lập ma phương lẻ. Kết hợp với quy tắc đi riêng cho các ô nhỏ (quy tắc LUX(nguồn gốc của nó là do các cách viết ở hình vẽ dưới đây của J. H. Conway). Trong đó 1 ma phương sẽ có tổng cộng n + 1 dòng L, đúng 1 dòng U và n – 1 dòng X. Luôn có 1 chữ U ở trung tâm ma phương và ta sẽ hoán đổi vị trí với L trên nó. Sau đó dùng phương pháp Siamese cho ma phương lẻ cho ô chính giữa hàng trên cùng ta có kết quả. Nội dung phương pháp Siamese: Bắt đầu từ số 1(chính giữa ở hàng cuối cùng) đi theo hướng mũi tên đến số 3(ô cuối của mũi tên), sau đó chuyển số 3 qua phía đối diện, ...còn lại bạn đọc tự rút ra quy luật.

Cách lập ma phương chẵn


Áp dụng cho ma phương cấp 10. Lúc này ta có n = 2 nên sẽ có n + 1 = 3 dòng chữ L, 1 dòng chữ U và n – 1 = 1 dòng chữ X. Kết hợp Siamese cho ma phương lẻ và LUX ta có kết quả.

Cách lập ma phương chẵn

Ngoài ra các bạn có thể xem thêm những điều thú vị khác về ma phương ở các link sau:
    1. Tô Đồng, Một Vài Đặc Tính Của Ma Phương, Download
    2. Mutsumi Suzuki, Magic squares, Link
    3. Mathforum http://mathforum.org/alejandre/magic.square.html
    4. Mathworld http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html
Xem thêm:
Phần 1 - Cách lập ma phương lẻ

Phần 3 - Quy tắc Siamese

Bài đăng phổ biến