Trong chương trình môn Toán lớp 11 ta được học phương trình dạng a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=0\qquad (1)
Phương trình (1) có tên gọi là "phương trình thuần nhất bậc hai đối với \sin x và \cos x". Ở đây tên gọi "thuần nhất bậc hai đối với \sin x và \cos x" là vì mỗi số hạng ở vế trái của (1) đều có bậc hai: \sin^2x, \cos^2x, số hạng có chứa \sin x\cos x cũng được xem là bậc hai vì \sin x\cos x=\sin^1x\cos^1x và 1+1=2.
Cách giải phương trình (1).
Bước 1. Thay giá trị \cos x=0 (hoặc \sin x=0) vào phương trình (1). Nếu giá trị đó thỏa mãn phương trình (1) thì khẳng định phương trình có họ nghiệm x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z} (hoặc x=k\pi, k\in\mathbb{Z}).
Bước 2. Với \cos x\neq 0 (hoặc \sin x\neq 0), chia 2 vế phương trình (1) cho \cos x (hoặc \sin x) ta thu được phương trình bậc hai đối với hàm số \tan x (hoặc \cot x). Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác này ta sẽ tìm được nghiệm x.
Bước 3. Tổng hợp nghiệm ở Bước 1 và Bước 2 rồi kết luận nghiệm của phương trình.
Từ sự giải thích tên gọi "phương trình thuần nhất bậc hai đối với \sin x và \cos x" ở trên, ta khái quát lên thành phương trình thuần nhất bậc n đối với \sin x và \cos x. Đó là phương trình mà có một vế bằng 0 và mỗi số hạng ở vế còn lại có tổng số mũ của \sin x và \cos x bằng n. Ví dụ như
\sin^3x+2\sin^2 x\cos x +3\sin x\cos^2 x -6\cos^3x=0\qquad (2)
\sin^4x+2\sin x\cos^3x -3\sin^2x\cos^2x=0\qquad (3)Phương trình (1) có tên gọi là "phương trình thuần nhất bậc hai đối với \sin x và \cos x". Ở đây tên gọi "thuần nhất bậc hai đối với \sin x và \cos x" là vì mỗi số hạng ở vế trái của (1) đều có bậc hai: \sin^2x, \cos^2x, số hạng có chứa \sin x\cos x cũng được xem là bậc hai vì \sin x\cos x=\sin^1x\cos^1x và 1+1=2.
Cách giải phương trình (1).
Bước 1. Thay giá trị \cos x=0 (hoặc \sin x=0) vào phương trình (1). Nếu giá trị đó thỏa mãn phương trình (1) thì khẳng định phương trình có họ nghiệm x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z} (hoặc x=k\pi, k\in\mathbb{Z}).
Bước 2. Với \cos x\neq 0 (hoặc \sin x\neq 0), chia 2 vế phương trình (1) cho \cos x (hoặc \sin x) ta thu được phương trình bậc hai đối với hàm số \tan x (hoặc \cot x). Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác này ta sẽ tìm được nghiệm x.
Bước 3. Tổng hợp nghiệm ở Bước 1 và Bước 2 rồi kết luận nghiệm của phương trình.
Từ sự giải thích tên gọi "phương trình thuần nhất bậc hai đối với \sin x và \cos x" ở trên, ta khái quát lên thành phương trình thuần nhất bậc n đối với \sin x và \cos x. Đó là phương trình mà có một vế bằng 0 và mỗi số hạng ở vế còn lại có tổng số mũ của \sin x và \cos x bằng n. Ví dụ như
\sin^3x+2\sin^2 x\cos x +3\sin x\cos^2 x -6\cos^3x=0\qquad (2)
Phương trình (2), (3) lần lượt có tên gọi là phương trình thuần nhất bậc 3, bậc 4 đối với \sin x và \cos x.
Cách giải phương trình thuần nhất bậc n đối với \sin x và \cos x hoàn toàn tương tự như cách giải phương trình (1).
Chú ý. Từ hằng đẳng thức lượng giác \sin^2x+\cos^2x=1 mà phương trình a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d có thể biến đổi về dạng phương trình (1) như sau
\begin{array}{l l} &a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d\\ \Leftrightarrow & a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d(\sin^2x+\cos^2x)\\ \Leftrightarrow & (a-d).\sin^2x+b.\sin x\cos x +(c-d).\cos^2x=0 \end{array}
Bài tập. Giải các phương trình dưới đây
1)\quad \sin^2x-3\sin x\cos x+1=0,
2)\quad \sin^2x+2\sin x\cos x +3\cos^2x-3=0,
3)\quad \sqrt{3}\sin x+\cos x=\dfrac{1}{\cos x},
4)\quad 2\sin^3x-5\sin^2x\cos x+4\sin x\cos^2x-\cos^3x=0,
5)\quad 2\sin^3x+4\sin^2x\cos x +\cos x-4\sin x=0,
6)\quad 4\sin^3x + 3\cos^3x-3\sin x-\sin^2x\cos x=0,
7)\quad \cos^3x -4\sin^3x-3\cos x\sin^2x+\sin x=0,
8)\quad 2\cos^3x=\sin 3x,
9)\quad \sin x\sin 2x +\sin 3x=6\cos^3x,
10)\quad \sqrt{2}\sin^3\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin x.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét