Bài tập Phương trình Lượng giác có lời giải (Toán 11 và Ôn thi đại học)

Bài tập Phương trình Lượng giác có lời giải (nâng cao). Bài viết này sẽ tổng hợp các chuyên đề lý thuyết, bài tập, đề thi phần lượng giác nhằm giúp học sinh lớp 11 có thể học tốt phương trình lượng giác và học sinh 12 ôn thi đại học câu II.1.
1. Lượng giác Toàn tập (Công thức, Hàm số, Phương trình Lượng giác và các vấn đề liên quan).
2. Kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác (Ôn thi đại học).
3. Lượng giác: Lý thuyết, bài tập có lời giải.
4. Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học.

Xem thêm: Bài tập Đại số 11 cả năm / Bài tập Hình học 11 cả năm

Bài tập Công thức Lượng giác (Chương 6 Đại số 10 Nâng Cao, Cơ Bản)

Bài tập Chương 6 Đại số 10 Nâng Cao, Cơ Bản: Góc, cung lượng giác và Công thức lượng giác.Tài liệu gồm 4 file, trình bày lý thuyết và bài tập từng bài. Cuối chương có một lượng bài tập ôn tập phong phú để học sinh luyện tập.

Tải tài liệu chương 6 Đại số 10 NC, CB: Download Bai tap Cong thuc Luong giac Toan 10.

Xem thêm: Bài tập Chương 1 Đại số 10 / Chương 2 Đại số 10 / Chương 3 Đại số 10 / Chương 4 Đại số 10 / Bài tập Đại số 10 cả năm

Lượng giác hóa để chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, bất pt

Lượng giác hóa để chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, bất phương trình. Một chuyên đề chất lượng của bạn Nguyễn Hà Lan Anh, chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị khóa 2008-2011.

Hữu ích trong việc ôn thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Tải về bản in: Download prove inequalities by trigonometric.

Xem thêm: Phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình, hệ pt, tính tích phân

Phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình, hệ pt

MATHVN xin giới thiệu một chuyên đề nhỏ của bạn đọc Mai Xuân Việt: Sử dụng Phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình, hệ pt, tính tích phân và một số bài toán khác.

Tải phương pháp lượng giác hóa: Download Phuong phap Luong giac hoa giai phuong trinh.

Xem thêm: Lượng giác hóa để chứng minh bất đẳng thức và giải phương trình, bất pt

Hướng tiếp cận phương trình lượng giác

Trong chương trình toán phổ thông, phương trình lượng giác là phần làm cho nhiều học sinh lúng túng bởi có quá nhiều công thức biến đổi. Để lựa chọn được công thức phù hợp cho mỗi bước biến đổi, học sinh cần phải nắm rõ các công thức đó và có một số định hướng cụ thể.

Ở lớp 11, học sinh được học và trang bị phương pháp giải 5 dạng phương trình thường gặp: phương trình lượng giác cơ bản; phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$; phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$; phương trình đối xứng đối với $\sin x$ và $\cos x$. Cả 5 dạng này có điểm đặc trưng là: có cùng một loại góc, chứa tối đa 2 hàm số lượng giác, bậc cao nhất là 2.

Các kỳ thi quan trọng như đại học, cao đẳng sẽ phân loại và tuyển chọn ra các sinh viên có kiến thức cơ bản và khả năng ứng biến linh hoạt cho các ngành nghề. Chính vì thế, 5 dạng phương trình thường gặp trên sẽ được biến đổi khác xa so với nguyên gốc ban đầu để thử thách các thí sinh. Thông thường người ta sẽ dùng các công thức liên hệ giữa các góc để làm cho phương trình có nhiều loại góc khác nhau, nhiều hàm số lượng giác, làm cho bậc của phương trình tăng lên. Bên cạnh đó, người ta cũng nhân các phương trình thường gặp (trong số 5 phương trình ở trên ) lại với nhau và sắp xếp thành một phương trình lạ lẫm. Vậy để tiếp cận với bài toán phương trình lượng giác, học sinh cần phải nắm vững các định hướng sau:

1.  Đưa về cùng một loại góc hoặc một nhóm các góc giống nhau.
2.  Đưa về cùng một hàm số lượng giác.
3.  Hạ bậc.
4.  Biến đổi về phương trình tích.

Một số công thức đặc biệt thường dùng khi biến đổi đưa về phương trình tích.

•  $\sin^2x=(1-\cos x)(1+\cos x).$

•  $\cos^2x=(1-\sin x)(1+\sin x).$

•  $\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).$

•  $1+\sin 2x=(\sin x+\cos x)^2.$

•  $1-\sin 2x=(\sin x-\cos x)^2=(\cos x-\sin x)^2.$

Ví dụ 1. Giải phương trình $\cos 2x +5\sin x -4=0.$
Giải
Phương trình có 2 loại góc là $x$ và $2x$. Do đó, ta dùng công thức nhân đôi để đưa về cùng một loại góc $x$. Tuy nhiên $\cos 2x$ có đến 3 công thức biến đổi ($\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$), cho nên ta phải lưu ý lựa chọn công thức sao cho phù hợp với hàm số lượng giác còn lại trong phương trình. Với định hướng như vậy ta có lời giải sau
$$\begin{array}{l l}
&\cos 2x +5\sin x -4=0\\
\Leftrightarrow & 1-2\sin^2x+5\sin x-4=0\\
\Leftrightarrow & -2\sin^2x+5\sin x-3=0\\
\Leftrightarrow &\left [\begin{array}{l}
\sin x=1\\
\sin x=\frac{3}{2}\quad (\text{vô nghiệm})
\end{array}\right. \\
\Leftrightarrow & x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\quad (k\in\mathbb{Z}).\end{array}
$$
Ví dụ 2.Giải phương trình $\sin^2x +\sin^2 2x=\cos^2 3x+\cos^2 4x.$
Giải
Nhận thấy các số hạng có trong phương trình đều có bậc 2 nên trước tiên, ta sẽ dùng công thức hạ bậc. Khi đó ta thu được phương trình
$$\begin{array}{l l}
&\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}\\
\Leftrightarrow & \cos 6x +\cos 8x +\cos 2x +\cos 4x=0
\end{array}$$ Đến đây ta có được phương trình chỉ chứa hàm số cosin, tuy nhiên có đến 4 loại góc khác nhau là: $2x, 4x, 6x, 8x$. Việc biến đổi 4 loại góc này về cùng một loại góc rất khó khăn và làm bậc của phương trình tăng lên. Cho nên, ta nghĩ đến việc biến đổi về phương trình tích. Để ý giữa 4 loại góc trên có mối liên hệ $8x + 2x= 6x + 4x =10x$, do đó, ta sẽ nhóm các số hạng như sau
$$\begin{array}{l l}
&(\cos 8x +\cos 2x)+(\cos 6x +\cos 4x)=0\\
\Leftrightarrow & 2\cos 5x \cos 3x +2\cos 5x \cos x=0\\
\Leftrightarrow & 2\cos 5x (\cos 3x+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & 4\cos 5x\cos 2x\cos x=0\\
\Leftrightarrow & \left [\begin{array}{l}
\cos 5x=0\\
\cos 2x=0\\
\cos x=0
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left [\begin{array}{l}
5x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x=\frac{\pi}{2}+k\pi
\end{array}\right. \Leftrightarrow \left [\begin{array}{l}
x=\frac{\pi}{10}+k\frac{\pi}{5}\\
x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\
x=\frac{\pi}{2}+k\pi
\end{array}\right.
\end{array}$$
Ví dụ 3. Giải phương trình $2\sin^3 x+\cos 2x +\cos x=0.$
Giải
Phương trình có chứa số hạng bậc 3 và có 2 loại góc: $x, 2x$. Nếu ta hạ bậc 3 thì sẽ sinh ra thêm loại góc $3x$. Khi đó phương trình sẽ phức tạp hơn. Như vậy, ta dùng công thức nhân đôi để đưa về cùng một loại góc $x$ như dưới đây.
$$
2\sin^3 x+1-2\sin^2 x+\cos x=0
$$ Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là vì sao không dùng các công thức $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2 x-1$? Do phương trình có chứa $\sin^3 x$ nên ta sẽ lựa chọn công thức nào có chứa hàm số sin để gộp với $\sin^3 x$ thành một nhóm và hy vọng xuất hiện nhân tử chung để thuận lợi cho định hướng chuyển về phương trình tích sau này. Vậy sao không dùng $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$? Rõ ràng, với định hướng đưa về cùng một hàm số lượng giác thì $1-2\sin^2 x$ tốt hơn $\cos^2x-\sin^2 x$. Hơn nữa, $\sin^3x$ còn đi kèm với hệ số 2 nên chọn $1-2\sin^2 x$ là hợp lý nhất. Ta tiếp tục biến đổi phương trình thành
$$\begin{array}{l l}
&(2\sin^3x-2\sin^2x)+(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow&2\sin^2x(\sin x-1)+(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & 2(1+\cos x)(1-\cos x)(\sin x-1)+(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & (1+\cos x)\left[2(1-\cos x)(\sin x-1)+1\right]=0\\
\Leftrightarrow &(1+\cos x)\left[2(\sin x+\cos x)-2\sin x\cos x -1\right]=0\\
\Leftrightarrow &\left [\begin{array}{l}
1+\cos x=0\\
2(\sin x+\cos x)-2\sin x\cos x-1=0
\end{array}\right.
\end{array}$$ Đến đây, mỗi phương trình ta đều biết cách giải nên chắc chắn sẽ tìm được nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 4. Giải phương trình $\cos^2 x+\sin^3 x+\cos x=0.$
Giải
Điểm thuận lợi của phương trình này là có cùng góc $x$. Chính vì thế ta không nên hạ bậc các số hạng $\cos^2x, \sin^3x$, nếu không các góc sẽ lệch nhau. Do đó ta còn 2 hướng suy nghĩ: đưa về cùng một hàm số lượng giác, đưa về phương trình tích. Nếu đưa về cùng một hàm số lượng giác thì chỉ có biến đổi sin thành cos (do các số hạng còn lại đều là hàm số cosin). Nhưng $\sin^3x$ chuyển lại thành cosin mà không làm thay đổi góc $x$ là không thể. Vậy hướng phân tích về phương trình tích là hợp lý nhất.

Nhìn vào phương trình, không khó để nhận ra $\cos^2x$ "bắt cặp" với $\cos x$. Như vậy ta có biến đổi như sau
$$\begin{array}{l l}
&\cos^2x+\sin^3x+\cos x=0\\
\Leftrightarrow & \cos x(\cos x+1)+\sin^3x=0\\
\Leftrightarrow &\cos x(\cos x+1)+\sin x\sin^2 x=0\\
\Leftrightarrow &\cos x(\cos x+1)+\sin x(1-\cos x)(1+\cos x)=0\\
\Leftrightarrow & (1+\cos x)\left[\cos x+\sin x(1-\cos x)\right]=0\\
\Leftrightarrow &(1+\cos x)\left(\cos x+\sin x-\sin x\cos x\right)=0\\
\Leftrightarrow & \left[\begin{array}{l}
1+\cos x=0\\
\cos x+\sin x-\sin x\cos x=0\\
\end{array}\right.
\end{array}$$ Việc giải mỗi phương trình thành phần là đơn giản.

Ví dụ 5. Giải phương trình $\sin x +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2(\cos 4x+\sin^3x)$ (Đề toán khối B 2009)
Giải.

Nhìn vào phương trình ta thấy có 4 loại góc: $x, 2x, 3x, 4x$. Việc biến đổi về cùng một loại góc là thực sự khó khăn (chỉ có thể biến đổi về góc chung $x$). Như vậy định hướng đưa về cùng một loại góc không khả thi đối với phương trình này. Tiếp đến, trong phương trình chỉ có mỗi số hạng $\sin^3x$ là bậc 3, số hạng này gây sự chú ý đặc biệt cho ta (vì thông thường, phương trình bậc càng cao sẽ càng khó giải hơn). Do đó ta phải "xử lý" số hạng có chứa $\sin^3x$. Nhìn vế trái của phương trình ta thấy có chứa $\sin x$ nên ta sẽ gộp $\sin^3 x$ với $\sin x$ và xem thử điều gì xảy ra tiếp theo.
$$\begin{array}{l l}
& \sin x +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2(\cos 4x+\sin^3x)\\
\Leftrightarrow & (\sin x -2\sin^3 x) +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x\\
\Leftrightarrow & \sin x(1 -2\sin^2 x) +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x\\
\Leftrightarrow & \sin x \cos 2x +\cos x\sin 2x+\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x
\end{array}$$ Đến đây, không khó để nhận ra $$\sin x \cos 2x +\cos x\sin 2x=\sin (x+2x)=\sin 3x.$$ Như thế phương trình trở thành
$$\sin 3x +\sqrt{3}\cos 3x=2\cos 4x$$ Cuối cùng, bạn nào đã giải thành thạo phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$ thì sẽ tự động "bật" ra cách giải phương trình này thôi.
Bài tập.
Giải các phương trình sau

1) $2\sin x +\cos x=\sin 2x +1,$
2) $\cos 7x +\sin 8x = \cos 3x - \sin 2x,$
3) $9\sin x + 6\cos x -3\sin 2x + \cos 2x=8,$
4) $\displaystyle \cos^2 \left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\cos^2 \left(2x+\frac{\pi}{2}\right)+\cos^2 \left(3x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3}{2},$
5) $\cos^3 x-\sin^3x=\sin x-\cos x,$
6) $2\sin^2 2x +\sin 7x -1=\sin x,$
7) $\cos x+3\sin x=4\sin x\cos^2 x,$
8) $\cos 2x + 3\sin 2x +5\sin x-3\cos x=3$

Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học vài năm qua

1) $\sqrt{3}\sin 2x +\cos 2x =2\cos x-1$ (Đề toán khối A 2012)
2) $2(\cos x+\sqrt{3}\sin x)\cos x=\cos x -\sqrt{3}\sin x +1$ (Đề toán khối B 2012)
3) $\sin 3x +\cos 3x -\sin x+ \cos x=\sqrt{2}\cos 2x$ (Đề toán khối D 2012)
4) $\displaystyle\frac{1+\sin 2x +\cos 2x}{1+\cot^2 x}=\sqrt{2}\sin x\sin 2x $ (Đề toán khối A 2011)

5) $\sin 2x\cos x+\sin x\cos x=\cos 2x+\sin x+\cos x$ (Đề toán khối B 2011)

6) $\displaystyle\frac{\sin 2x +2\cos x-\sin x - 1}{\tan x+\sqrt{3}}=0 $ (Đề toán khối D 2011)

7) $\displaystyle\frac{(1+\sin x +\cos 2x)\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{1+\tan x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x $ (Đề toán khối A 2010)

8) $(\sin 2x +\cos 2x)\cos x+2\cos 2x-\sin x=0$ (Đề toán khối B 2010)

9) $\displaystyle\sin 2x- \cos 2x+3\sin x -\cos x-1=0$ (Đề toán khối D 2010)

10) $\displaystyle\frac{(1-2\sin x)\cos x}{(1+2\sin x)(1-\sin x)}=\sqrt{3}$ (Đề toán khối A 2009)

Phương trình lượng giác có điều kiện

1. Giới thiệu

Đối với các phương trình lượng giác có điều kiện, việc đối chiếu nghiệm tìm được với điều kiện xác định của phương trình có lẽ gây cho chúng ta nhiều khó khăn, nhầm lẫn. Vậy có cách nào để giúp ta giảm thiểu sai sót khi giải phương trình lượng giác có điều kiện? Thật đơn giản, chỉ cần ta biết cách biểu diễn góc (cung) trên đường tròn lượng giác thì ta sẽ có hình ảnh trực quan về các điểm biểu diễn cho điều kiện và các điểm biểu diễn cho nghiệm. Từ đó ta dễ dàng chọn được nghiệm đúng của phương trình.

 2. Biểu diễn góc (cung) trên đường tròn lượng giác

 Điểm M biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha +k2\pi$. Ngược lại góc lượng giác $x=\alpha +k2\pi$ sẽ được biểu diễn chỉ bởi 1 điểm $M$ trên đường tròn lượng giác sao cho cung AM có số đo bằng $\alpha$.

Hai điểm $M_1, M_2$ chia đường tròn lượng giác thành 2 phần bằng nhau. Khi đó 2 điểm $M_1, M_2$ biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha +k\pi$. Ngược lại góc lượng giác $x=\alpha +k\pi$ sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm cách đều nhau trên đường tròn lượng giác và cung AM có số đo bằng $\alpha$.

Ba điểm $M_1, M_2,M_3$ chia đường tròn lượng giác thành 3 phần bằng nhau. Khi đó 3 điểm $M_1, M_2, M_3$ biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha +k\frac{2\pi}{3}$. Ngược lại góc lượng giác $x=\alpha +k\frac{2\pi}{3}$ sẽ được biểu diễn bởi 3 điểm cách đều nhau trên đường tròn lượng giác và cung AM có số đo bằng $\alpha$.




Tóm lại, nếu $n$ điểm $M_1, M_2, ..., M_n$ chia đường tròn lượng giác thành $n$ phần bằng nhau và cung AM có số đo bằng $\alpha$ thì khi đó $n$ điểm $M_1, M_2, ..., M_n$ sẽ biểu diễn cho góc lượng giác $x=\alpha+k\frac{2\pi}{n}$.

3. Ứng dụng

Ví dụ. Giải phương trình$$\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}=\sqrt{3}.\qquad\qquad (1)$$

Lời giải
Điều kiện $\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x\neq 0\Leftrightarrow \begin{cases}x\neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\ x\neq \frac{2\pi}{3}+k2\pi\qquad, k\in\mathbb{Z}.\\ x\neq -\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{cases}$

Khi đó phương trình $(1)$ tương đương với
$$ \tan 2x =\sqrt{3}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}. $$
+ Biểu diễn điều kiện trên đường tròn lượng giác bởi các điểm đánh dấu chéo.

Góc $\displaystyle\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$ được biểu diễn bởi 4 điểm $N_1, N_2, N_3, N_4.$

Góc $\displaystyle\frac{2\pi}{3}+k2\pi$ được biểu diễn bởi 1 điểm $N_5.$

Góc $\displaystyle -\frac{2\pi}{3}+k2\pi$ được biểu diễn bởi 1 điểm $N_6.$

+ Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác bởi các điểm đánh dấu tròn.

Góc $\displaystyle\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2}$ được biểu diễn bởi 4 điểm $M_1, M_2, M_3, M_4.$

Đối chiếu với điều kiện bằng hình vẽ, ta có nghiệm của phương trình đã cho được biểu diễn bởi các điểm $M_1, M_3, M_4$.  Do $M_1, M_3$ chia đường tròn thành hai phần bằng nhau nên 2 điểm này biểu diễn cho góc $ x=\frac{\pi}{6}+k\pi$. Còn lại, điểm $M_4$ biểu diễn cho góc $ x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi$. Vậy nghiệm của phương trình $(1)$ là $$x=\frac{\pi}{6}+k\pi; x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi \quad (k\in\mathbb{Z}).$$
Nếu không nhận thấy 2 điểm $M_1, M_3$ chia đường tròn thành hai phần bằng nhau  thì ta cũng có thể kết luận nghiệm của phương trình $(1)$  là $$ x=\frac{\pi}{6}+k2\pi; x=\frac{7\pi}{6}+k2\pi; x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi \quad (k\in\mathbb{Z}).$$
  
Bài tập. Giải các phương trình sau

1) $\displaystyle 2\sin x+\cot x=2\sin 2x + 1,$

2) $\displaystyle \frac{1+\sin 2x+\cos 2x}{1+\cot^2x}=\sqrt{2}\sin x\sin 2x,$    (Đề thi đại học khối A năm 2011)

3) $\displaystyle \frac{\sin 2x+2\cos x-\sin x-1}{\tan x+\sqrt{3}}=0,$   (Đề thi đại học khối D năm 2011)

4) $\displaystyle \frac{(1+\sin x+\cos 2x)\sin (x+\frac{\pi}{4})}{1+\tan x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x,$    (Đề thi đại học khối A năm 2010)

5) $\displaystyle \frac{(1-2\sin x)\cos x}{(1+2\sin x)(1-\sin x)}=\sqrt{3},$    (Đề thi đại học khối A năm 2009)

6) $\displaystyle \frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin (x-\frac{3\pi}{2})}=4\sin (\frac{7\pi}{4}-x), $     (Đề thi đại học khối A năm 2008)

7) $\displaystyle \frac{2(\cos^6x+\sin^6x)-\sin x\cos x}{\sqrt{2}-2\sin x}=0,$     (Đề thi đại học khối A năm 2006)

Tài liệu tham khảo:
1) Phan Tuấn Cộng (2010), "Kỹ thuật tìm nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện,"   Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục.

2) Đề thi đại học các năm qua.

Tải về bài viết: http://www.mediafire.com/file/3d3iibmb2q8vivd/Phuong_trinh_luong_giac_co_dieu_kien.pdf

Phương trình thuần nhất bậc n đối với sin x và cos x

Trong chương trình môn Toán lớp 11 ta được học phương trình dạng $$a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=0\qquad (1)$$
Phương trình $(1)$ có tên gọi là "phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$". Ở đây tên gọi "thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$" là vì mỗi số hạng ở vế trái của $(1)$ đều có bậc hai: $\sin^2x, \cos^2x$, số hạng có chứa $\sin x\cos x$ cũng được xem là bậc hai vì $\sin x\cos x=\sin^1x\cos^1x$ và $1+1=2$.

Cách giải phương trình $(1)$.

Bước 1. Thay giá trị $\cos x=0$ (hoặc $\sin x=0$) vào phương trình $(1)$. Nếu giá trị đó thỏa mãn phương trình $(1)$ thì khẳng định phương trình có họ nghiệm $x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (hoặc $x=k\pi, k\in\mathbb{Z}$).

Bước 2. Với $\cos x\neq 0$ (hoặc $\sin x\neq 0$), chia 2 vế phương trình $(1)$ cho $\cos x$ (hoặc $\sin x$) ta thu được phương trình bậc hai đối với hàm số $\tan x$ (hoặc $\cot x$). Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác này ta sẽ tìm được nghiệm $x$.

Bước 3. Tổng hợp nghiệm ở Bước 1 và Bước 2 rồi kết luận nghiệm của phương trình.

Từ sự giải thích tên gọi "phương trình thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$" ở trên, ta khái quát lên thành phương trình thuần nhất bậc $n$ đối với $\sin x$ và $\cos x$. Đó là phương trình mà có một vế bằng $0$ và mỗi số hạng ở vế còn lại có tổng số mũ của $\sin x$ và $\cos x$ bằng $n$. Ví dụ như
$$\sin^3x+2\sin^2 x\cos x +3\sin x\cos^2 x -6\cos^3x=0\qquad (2)$$

$$\sin^4x+2\sin x\cos^3x -3\sin^2x\cos^2x=0\qquad (3)$$
Phương trình $(2), (3)$ lần lượt có tên gọi là phương trình thuần nhất bậc $3$, bậc $4$ đối với $\sin x$ và $\cos x$.

Cách giải phương trình thuần nhất bậc $n$ đối với $\sin x$ và $\cos x$ hoàn toàn tương tự như cách giải phương trình $(1)$.

Chú ý. Từ hằng đẳng thức lượng giác $\sin^2x+\cos^2x=1$ mà phương trình $$a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d$$ có thể biến đổi về dạng phương trình $(1)$ như sau
\begin{array}{l l}
&a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d\\
\Leftrightarrow & a.\sin^2x+b.\sin x\cos x +c.\cos^2x=d(\sin^2x+\cos^2x)\\
\Leftrightarrow & (a-d).\sin^2x+b.\sin x\cos x +(c-d).\cos^2x=0
\end{array}
Bài tập. Giải các phương trình dưới đây

$1)\quad \sin^2x-3\sin x\cos x+1=0,$
$2)\quad \sin^2x+2\sin x\cos x +3\cos^2x-3=0,$
$3)\quad \sqrt{3}\sin x+\cos x=\dfrac{1}{\cos x},$
$4)\quad 2\sin^3x-5\sin^2x\cos x+4\sin x\cos^2x-\cos^3x=0,$
$5)\quad 2\sin^3x+4\sin^2x\cos x +\cos x-4\sin x=0,$
$6)\quad 4\sin^3x + 3\cos^3x-3\sin x-\sin^2x\cos x=0,$
$7)\quad \cos^3x -4\sin^3x-3\cos x\sin^2x+\sin x=0,$
$8)\quad 2\cos^3x=\sin 3x,$
$9)\quad \sin x\sin 2x +\sin 3x=6\cos^3x,$
$10)\quad \sqrt{2}\sin^3\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=2\sin x.$

Lượng giác: Lý thuyết, bài tập có lời giải

Tài liệu gồm hầu hết các vấn đề về lượng giác ở phổ thông: Biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác, hệ thức lượng trong tam giác,...

Luong giac toan tap

Trong mỗi phần đều có lý thuyết (công thức, dạng phương trình), bài tập có lời giải chi tiết, bài tập rèn luyện.
Tải file PDF tại đây: Download Luong giac Toan tap.

Kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác (Ôn thi đại học) - Nguyễn Thành Long

Phương trình lượng giác là một phần không thể thiếu trong các đề thi đại học, chính vì thể ngoài việc nắm bắt các công thức và vận dụng linh hoạt đòi hỏi các bạn học sinh phải thuần thục các kĩ năng, kĩ xảo, quan sát một cách tinh tế mới có thể làm được một cách nhanh chóng và chính xác.

Hi vọng tài liệu nhỏ này sẽ giúp các em vững tin hơn khi bước vào phòng thi. Tải về theo link dưới đây: Download

Góp ý theo địa chỉ email: Loinguyen1310@gmail.com hoặc Nguyễn Thành Long - Số nhà 15 – Khu phố 6 – Ngọc Trạo – Thị xã Bỉm Sơn – Thanh Hóa.

Phương trình lượng giác trong đề thi Đại học 2002-2010

Tuyển tập phương trình lượng giác trong đề thi Đại học 2002-2010 (cả chính thức lẫn dự bị). Tất cả đều có hướng dẫn giải (sơ lược) và đáp số. Tài liệu này giúp học sinh ôn thi theo chuyên đề một cách hiệu quả.

Tải file PDF ở đây: Phuong trinh luong giac trong de thi Dai hoc. Lời giải chi tiết có thể xem trong tuyển tập này.

Xem thêm: Tài liệu luyện thi câu II trong đề thi Đại học (có phương trình lượng giác)

Tài liệu luyện thi câu II ở đề thi Đại học 2010

1. Đầu tiên là tập tài liệu luyện thi câu II ở đề thi Đại học 2010 được biên soạn bởi thầy Nguyễn Tất Thu ở Đồng Nai. Bao gồm các vấn đề về:
- Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
- Công thức lượng giác, phương trình lượng giác
và sẽ chiếm 2/10 tổng số điểm của toàn bài thi vào Đại học.
Tải về theo link ở đây: Download . Do trong file này, thầy NTT chưa tuyển tập các phương trình, bpt mũ và logarit nên cần download thêm ở đây: Pt, bất pt mũ và logarit
2. Tiếp theo là một bộ tài liệu khác cũng được biên soạn theo các chủ đề của câu II, gồm 3 file: - Pt, bất pt, hệ pt đại số - Pt lượng giác, công thức lượng giác - Pt, bất phương trình siêu việt: Download

Ngoài ra cần xem thêm :
- Các chuyên đề ĐS&GT luyện thi đại học các năm trước
- Các chuyên đề về Tổ hợp, xác suất, thống kê ltđh năm 2010