Chúng thuộc về họ - Phần 2

Carl Friedrich Gauss ông vua toán học và việc dựng đa giác đều 17 cạnh(a regular 17-sided polygon)

Định lí:"Một đa giác đều 17 cạnh có thể được dựng bằng thước kẻ và compa"

Chứng minh:
Chứng minh được xuất bản trong Section VII trong tác phẩm nổi tiếng của Gauss, Disquisitiones Arithmeticae.
Theo Gauss để dựng một đa giác đều như thế nội tiếp trong một đườngtròn bán kính 1 chỉ cần dựng được một cạnh có độ dài

Một số lưu ý

Nếu là một trong các nghiệm của phương trình có dạng




Đặt



và



Từ đó bằng tính toán



Chúng ta biết rằng nếu cho truớc các cạnh có độ dài thì ta có thể bằng thước và compa dựng đuợc các đoạn thẳng có độ dài lần lượt là trị tuyệt đối các nghiệm của phương tình




Bằng cách đó ta dựng được các cạnh



Cuối cùng ta đựợc

Những thiên tài Toán học điên

“Điên”, “cuồng chữ” theo đúng nghĩa đen của nó. Những con số nhảy múa không ngừng, những suy luận trừu tượng vượt quá giới hạn tự nhiên, những áp lực vươn tới sự hoàn hảo... như thể đã băm vụn trí óc siêu việt của các thiên tài.

1. Georg Cantor (1845 - 1918): “Chúa trời là một... số vô cực”

Nói về nhà toán học người Đan Mạch Georg Cantor, người ta luôn ca ngợi trí thông minh tuyệt đỉnh của ông với sự ngưỡng mộ, sùng kính, thậm chí còn đôi chút tôn thờ. Lý thuyết tập hợp của Cantor ra đời cuối thế kỉ 19 đầu thế kỉ 20 đã giúp ông giải quyết nhanh gọn “nghịch lý Zénon” dựa trên ý tưởng có thể so sánh hai đại lượng vô hạn với nhau....

Quả thật, những suy luận trừu tượng kiểu này dễ khiến người ta phát điên. Và thiên tài Cantor cũng không là ngoại lệ. Về già, ông mắc chứng thần kinh điên loạn, dành trọn những năm cuối đời ngồi tỉ mẩn chứng minh: Chúa trời là một... số vô cực và Francis Bacon đã viết nên những tác phẩm kinh điển của Shakespeare.


2. Alexandre Grothendieck (1928): Nhà toán học ẩn dật

Alexandre Grothendieck đã từng là nhà môi trường và người ủng hộ chủ nghĩa cộng sản rất tích cực. Năm 30 tuổi, ông trở thành một trong những giáo sư đầu tiên của Viện toán Insitiut des Hautes Etudes Scientifiques ở Pháp, là một trong 6 “giáo sư suốt đời” của IHES đạt giải thưởng danh tiếng Fields, góp phần đưa IHES phát triển thành trung tâm toán học gạo cội của thế giới. Có thể nói, Grothendieck là một trong những nhà toán học có ảnh hưởng quan trọng nhất thế kỷ 20.

Điều vô cùng thú vị, nhân vật tên tuổi lẫy lừng ấy đã tới... Việt Nam giảng dạy và nghiên cứu trong suốt những năm tháng bom đạn ác liệt nhất (năm 1967). Ông không mảy may phiền hà khi những buổi học bị ngắt quãng hàng chục lần vì máy bay, không ngại về các vùng quê xa xôi sơ tán. Thậm chí trước lúc sang Việt Nam, Grothendieck đã giành toàn bộ va-li của mình để mang sách vở sang tặng các nhà toán học nước bạn, do đó chỉ có một bộ quần áo duy nhất mặc trên người.

Năm 42 tuổi, Grothendieck lui về sống ẩn dật tại vùng núi Pyrénées nước Pháp, hạn chế tối đa giao tiếp với thế giới bên ngoài. Tuy nhiên hàng ngàn trang bản thảo vẫn được ông đều đặn gửi ra cho đồng nghiệp và được lưu truyền trong giới toán học suốt mấy chục năm qua.


3. Oliver Heaviside (1850 - 1925): Nhà phát minh lập dị và điên loạn

Năm 30 tuổi, kỹ sư cơ khí kiêm nhà toán học người Anh Oliver Heaviside đã đưa ra một phát minh vô cùng quan trọng: biến các phương trình vi phân về dạng số học giản đơn. Không thể diễn tả phát minh này đã ảnh hưởng sâu sắc tới việc nghiên cứu bộ môn vi phân - tích phân như thế nào.

Đáng buồn thay đến những năm cuối cùng của cuộc đời, Heaviside vốn dĩ đã sống lập dị lại càng tỏ ra điên loạn hơn. Ông sơn móng tay bằng màu hồng lòe loẹt - hành động quá sức điên rồ ở những năm 1920, tống tháo tất cả mọi đồ đạc trong nhà ra ngoài đường, thay thế bằng những khối đá granite đủ kích thước và hình thù kỳ dị.


4. Walter Petryshyn: Mưu sát vợ vì... hoang tưởng

Năm 1996, cuốn sách về chức năng của hồi quy và tương quan phi tuyến vừa xuất bản thì nhà toán học người Mỹ gốc Ukraina Walter Petryshyn bỗng phát hiện trong đó tồn tại một sai lầm chết người. Áp lực lo sợ bị cộng đồng nghiên cứu dè bỉu nặng nề đã khiến ông hóa điên - theo cả nghĩa đen lẫn nghĩa bóng. Sự quẫn trí và hoang tưởng đã đưa đẩy ông đến hành vi mưu sát vợ năm 1997.


5. Evariste Galois (1811 - 1832): Bỏ mạng trong một cuộc đấu súng

Có một thực tế đã trở thành chân lý: đã là thiên tài toán học thì không bao giờ xuất sắc trong đấu súng tay đôi. Nhưng dường như chưa ai từng nói điều này cho Evariste Galois - thần đồng toán học người Pháp thế kỷ 19, người đã đóng góp vào ngành số học của nhân loại bằng một lý thuyết nổi tiếng mang chính tên ông (lý thuyết Galois).

Tuy nhiên Galois đã không may mắn sống tới lúc tên tuổi được vinh danh. Chàng trai trẻ bỏ mạng trong một cuộc đấu súng khi vừa tròn 20 tuổi. Điều bất thường ở thiên tài này ở chỗ: Ông đã dàn dựng trận đấu y hệt một cuộc phục kích bắt bớ của cảnh sát, với hy vọng cái chết của mình sẽ châm ngòi cho cuộc cách mạng dân chủ sau này.

(Theo Dân trí)

Một số cách chứng minh định lí Pitago - Phần 2

Cách 3: Chứng minh của Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci (1452 – 1519) là một họa sĩ lớn , một kỹ sư, và là một nhà phát minh lớn người Ý trong thời kỳ phục hưng. Ông nổi tiếng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, và là tác giả của bức họa nổi tiếng nàng Mona Lisa. Ông cũng được tín nhiệm trong cách chứng minh định lý Pitago dưới đây.

Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên hai cạnh bên của nó. (Trong hình này bạn không phải vẽ hình vuông trên cạnh huyền).


2. Bạn hãy nối hai đỉnh của hai hình vuông để vẽ được một tam giác vuông thứ hai bằng với tam giác vuông ABC ban đầu.


3. Hãy vẽ một đoạn thẳng đi qua tâm của hình này, đó chính là đoạn thẳng đi qua C và nối hai điỉnh xa nhất của 2 hình vuông (là đường nét đứt trên hình bên).


4. Hãy vẽ trung điểm D của đoạn này.


5. Quan sát hình chúng ta thấy rằng: đây chính là đoạn thẳng chia hình thành 2 phần đối xứng nhau . Chọn tất cả các đoạn thẳng và các điểm nằm ở một phía của đường thẳng này, và tạo một nút hoạt động Hide/Show để làm ẩn /hiện phần hình được đánh dấu này.

Đặt lại tên cho nút này là Hide Reflection.


6. Kích chuột vào nút Hide Reflection này và bạn sẽ thấy được một nửa hình của ban đầu, phần hình đối xứng với nó bị ẩn đi (như hình bên dưới).


7. Đánh dấu điểm D làm điểm tâm và quay toàn bộ hình này 180^o quanh điểm D .


Như vậy chúng ta đã tạo ra một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích của đa giác ban dầu.


8. Chọn đánh dấu tất cả các đối tượng ( đoạn thẳng và điểm) của phần hình tạo được do xoay một nửa hình ban đầu và tạo1 nút hoạt động nữa. Đặt tên cho nút này là Hide Rotation (xem hình bên dưới).


9. Vẽ đoạn A’B, và đoạn B’A. Như vậy chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy tứ giác BA’B’A chính là hình vuông trên cạnh c


10. Tô màu cho diện tích của hình tứ giác BA’B’A và hai tam giác vuông liền kề nó.


11. Đánh dấu đoạn A’B, và đoạn B’A, và diện tích của 3 đa giác ( gồm 2 tam giác vuông và 1 hình tứ giác), và tạo thêm 1 nút hoạt động . Có tên là Hide c Squared.


Nhận xét: Từ các bước dựng hìnhnhư trên, chúng ta có thể hình dung được cách chứng minh định lý của Leonardo da Vinci:


+ Cách dựng hình ở bước 1 – 4 cho 1 đa giác có 2 nửa đối xứng nhau qua 1 dường thẳng. Đa giác này có diện tích bằng tổng diện tích của 2 hình vuông trên các cạnh bên a, b của tam giác vuông ABC và diện tích của 2 tam giác vuông( có độ dài 2 cạnh bên là a, b).


+ Khi xoay 1 nửa đa giác trên quanh điểm tâm D của đường phân cách 180^o  cho ta một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích đa giác ba đầu.


+ Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tứ giác BA’B’A = (a² + b² + 2ab) – 2ab = a² + b² (1)


+ Việc nối A với B’, B với A’ cho ta hình vuông BA’B’A. (Vì AB song song và bằng A’B’ ; A’B và AB’ cũng song song và bằng nhau ). Tứ giác BA’B’A chính là hình vuông có cạnh là c diện tích của hình vuông này là c² (2)


Tử (1) và (2) ta có được c² = a² + b² . Có nghĩa là định lý Pitago được chứng minh.


12. Hãy thử kích vào các nút Hide, sau đó lại kích lại vào chúng. Như vậy bạn sẽ thấy được sự biến đổi của các bước làm trên : từ 1 hình gồm 2 tam giác vuông và 2 hình vuông trên 2 cạnh bên biến đổi thành hình gồm 2 tam giác vuông và 1 hình vuông trên cạnh huyền của chúng. ( mà diện tích của toàn bộ hình không đổi). Đây chính là cách chứng minh định lý của daVinci.

Cách 4: Chứng minh của 1 tổng thống

James A. Garfield đã khám phá ra một cách chứng minh định lý Pitago vào năm 1876, một vài năm trước khi ông ta trở tổng thống Hoa Kỳ. Một điều thú vị là trong ngành toán học không chỉ có một người trở thành tổng thống. Trước Garfield là ông Abraham Lincoln, là một thành viên của tổ chức Euclid là một trong những tác giả của những cuốn sách có sức thuyết phục nhất. Ông vừa là một luật sư vừa là một nhà chính trị. Cách chứng minh của Garfield được minh họa với một hình tương dối đơn giản: là một hình thang.


Dựng hình và kiểm tra .


1. Vẽ một tam giác vuông ABC và đặt tên các đỉnh như hình bên.


2. Đánh dấu điểm B làm tâm và quay cạnh c và điểm A theo B một góc 90^o .( sau bước này ta được hình bên)


3. Nối điểm A và A’ sau đó vẽ một đường thẳng đi qua A’ và song song với cạnh b.


4. Sử dụng công cụ Ray để kéo dài đoạn CB. Và vẽ điểm giao D cỉa của tia này với đường thẳng đi qua A’.


5. Làm ẩn đi tia và đường thẳng đi và thay vào đó là đoạn BD và DA’.


Như vậy ta có tứ giác ACDA’ là 1 hình thang vuông vì :


+ DA’ và CA song song( do cách dựng ở bước 3)


+ Góc ACB vuông( do ABC là tam giác vuông ban đầu) góc CDA’ vuông.


6. Tô màu đa giác theo 3 tam giác vuông bên trong nó.




7. Hãy đo độ dài cạnh a, b, c.Và bạn có thể sử dụng kết quả đo lường này để tính toán diện tích của 3 tam giác và tổng của chúng :


+ Đo độ dài các cạnh bằng cách : di chuột đến cạnh đó và kích chuột phải length


+ Đo diện tích tam giác : kích chuột phải lên tam giác đó chọn Area


+ Tính tổng các tam giác : chọn menu Measure  Calculate.


8. Sử dụng công thức tính diện tích của hình thanhg để tính diện tích hình ACDA’ chỉ dựa vào độ dài các cạnh.( dùng cái gì để đo chiều cao của hình thang vuông ?). Hãy vẽ miền trong đa giác của toàn bộ hình và xác nhận lại các tính toán của bạn đă làm là đúng.


- Trong cách chứng minh này từ cách dựng hình như trên , chúng ta tính được diện tích hình thang ACDA’ theo 2 cách :


Cách 1: Tính theo 3 tham số a, b, c (dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình thang bằng tổng diện tích 3 tam giác vuông trong đó 2 tam giác vuông màu đỏ có diện tích bằng nhau do tính chất của phép quay) thì ta có :


Dt = 2*ab /2 + c*c /2 (1)


Cách 2: tính theo 2 tham số a. b(dựa vào công thức tính diện tích hình thang):


Dt = (a+ b) *(a+b)/2 (2)


Từ (1) và(2) ta có Dt =ab+ c2/2 = (a+b)2/2  c2 = a2 + b2. chính là điều phải chứng minh.

Cách 5: Chứng minh định lý Pitago của Perigal

- Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, nhưng lại được chứng minh lại bởi những người không biết đến nguồn gốc cổ xưa của nó. Đây là một cách chứng minh mà được ’ khám phá’ ra bởi nhà toán học Henry Perigal vào năm 1873, nhưng cách chứng minh này lại được biết đến là cách chứng minh của nhà toán học người A- rập Tâbit ibn Qorra.a cách đó hàng nghìn năm.


Dựng hình và kiểm tra


1. Vẽ một hình vuông CADE.


2. Vẽ một hình vuông nhỏ hơn sát ngay hình vuông CADE vừa vẽ sao cho 2 hình vuông này có chung một đỉnh( là A) và đỉnh thứ hai của hình vuông nhỏ nằm trên cạnh DA( đỉnh G)  hình vuông nhỏ tạo được là hình vuông AGFB. Đặt tên cho độ dài cạnh của 2 hình vuông này lần lượt là b, a .


(hình bên minh họa cho bước 1 – 2).


3. Đánh dấu đoạn AB như 1 vectơ và dịch chuyển điểm C theo vectơ này. Cách làm như sau :


--> Chọn ( theo thứ tự) điểm A và điểm B, sau đó chọn Mark Vector từ menu Transform. Sau đó chọn chọn điểm C và chọn Translate từ menu Transform.


4. Vẽ đoạn thẳng EC’ và C’F.


5. Tô màu cho miền trong các đa giác là tam giác ( tam giác ECC’, và tam giác C’FB).






Nhận xét: Chúng ta bắt đầu dựng hình với 2 hình vuông liền kề với nhau, và bên trong của hình này chúng ta dựng hai tam giác vuông :


+ Trong tam giác vuông ECC’ ta có cạnh EC là cạnh hình vuông lớn nên có độ dài là b ; cạnh CC’ là kết quả của việc dịch chuyển điểm C theo vectơ AB nên CC’ dài bằng đoạn AB có độ dài là a.


+ Trong tam giác C’FB ta có cạnh FB là cạnh của hình vuông nhỏ, nên có độ dài là a. Cạnh C’B có độ dài bằng b ( Vì đoạn CC’ dài bằng đoạn AB).


--> Như vậy 2 tam giác vuông ECC’ và C’FB là 2 tam giác có diện tích bằng nhau là
(a*b) /2.


Gọi độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông này là c.


6. Sử dụng công cụ Translator để chuyển dịch tam giác ECC’ từ điểm C đến điểm G , và để chuyển tam giác C’BF từ điểm B tới điểm D.(Xem lại bài tạo công cụ Translator đã giới thiệu)  Việc dịch chuyển các tam giác không làm thay đổi kích thước của các tam giác đó.


7. Đánh dấu điểm E làm tâm và quay điểm C’ một góc 90^o để tạo thành hình vuông EC’FC’’.


Nhận xét:


- Vì EC là cạnh của tam giác vuông ECC’ nên hình vuông EC’FC’’ có diện tích là c².


Vì tam giác vuông ECC’ được di chuyển thành tam giác C’’GF :  góc ECC’ = góc C’’GF( = 90^o ).


Cạnh CC’ = cạnh GF( = a).


Cạnh CE = cạnh GC’’( =b).


 Diện tích tam giác ECC’’= diện tích tam giác C’’GB.


Tương tự ta có : Diện tích tam giác C’BF = diện tích tam giác EDC’’.


Vậy ta có diện tích của tứ giác EC’FC’’ băng tổng diện hai hình vuông có cạnh b, a ban đầu. Nên diện tích EC’FC’’ = a² + b². Đồng thời vì EC’FC’’ cũng là hình vuông có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông có các cạnh bên là b, a( dựng hình bước 7). Nên diện tích của hình vuông EC’FC’’= c² . Hay trong 1 tam giác vuông có c²= a² + b² (c là cạnh huyền, a,b là 2 cạnh bên).

Vậy có nghĩa là ta đã chứng minh được định lý Pitago.

(Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)

Một số cách chứng minh định lí Pitago - Phần 1

Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge

Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tác giả Elisha Scott Loomis, được xuất bản lần đầu tiên bởi Hội đồng giáo viên quốc gia của môn toán học, vào năm 1927. Thật đáng tiếc, quyển sách này hiện nay không được xuất bản nữa, trong cuốn sách này có tới trên 300 cách chứng minh định lý Pitago, trong đó, có nhiều cách chứng minh tương tự nhau, và tất cả các cách chứng minh nổi tiếng đều có trong cuốn sách của Loomis.

Cách chứng minh dưới đây thì tương tự như cách chứng minh của Bhaskara trong phần “Behold!” đã giới thiệu ở bài trước. Cách chứng minh này được đăng trên tạp trí giáo dục, xuất bản hàng ngày, và tác giả của nó là cô E. A. Coolidge - là một người mù.

Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên các cạnh của nó (dùng công cụ custom)
2. Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A bằng cách :

+ Chọn đoạn HA và điểm A

+ Chọn menu Transform --> Rotate --> degrees =180

3. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với đoạn AA’, Vẽ điểm giao K của 2 đường này.

( Hình bên minh họa cho các bước từ 1 đến 3)

4. Vẽ hình vuông A’KLM.

(Sử dụng công cụ Custom tool như đã giới thiệu ở bài 1)

5. Vẽ Đoạn BK, GM, FL.

6. Làm ẩn đi đường BK.

7. Tô màu cho 4 mảnh trong hình vuông trên cạnh huyền.

8. Đánh dấu vectơ EJ và dịch chuyển 4 đỉnh và 4 cạnh của hình vuông BCDE theo vectơ này (để được hình vuông bên dưới hình vuông trên cạnh b có diện tích bằng diện tích hình vuông BCDE )

+ Đánh dấu theo thứ tự điểm E, J

+ Chọn menu Transform --> Mark vector

+ Đánh dấu 4 cạnh và 4 đỉnh của hình vuông BCDE

+ Chọn vào Menu Transform --> Translate.

9. Như vậy miền diện tích trên cạnh b bây giờ là a² + b² . Sử dụng công cụ Translator để di chuyển các các mảnh là bản sao của các mảnh trong hình

vuông trên cạnh huyền vào trong miền có diện tích a² + b² trên cạnh b.

Chú ý:

- Hãy thử thay đổi tam giác của bạn, và quan sát xem các mảnh tương ứng còn lại có bằng nhau nữa không.?

- Chú ý rằng, trong trương hợp dựng hình như thế này cạnh b cần phải luôn được giữ là cạnh bên dài hơn nếu không thì sự dựng hình như trên sẽ bị sai.

- Trường hợp đặc biệt trước khi việc dựng hình bi sai là trương hợp cạnh b dài bằng cạnh a thì hình vuông A’KLM biến mất.

- Bạn hãy giải thích xem tại sao với cách làm trên các mảnh có thể xếp vừa khít với miền diện tích trên cạnh b..

Cách 2: Chứng minh của Ann Condit

Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của Elisha Scott Loomis. Ann Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm 1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường trung học ở miền nam Ấn Độ.

Dựng hình và kiểm tra

1. Dựng đoạn thẳng AB.

2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này

3. Vẽ đường tròn bán kính DA.

4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy ta đã dựng được tam giác vuông ABC vuông tại C.

5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.

6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình vuông.

7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.

8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và đoạn FG, sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.

9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và DBK.

Cách chứng minh này đưa ra mối liên quan giữa diện tích của các hình tam giác được tô màu với diện tích của các hình vuông trên các cạnh tam giác vuông.

Chọn menu Measure --> calculate để tính được tỉ lệ diện tích của các tam giác với các hình vuông tương ứng.

10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa đường tròn trên đường kính AB.

Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn. Và tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).


Nhận xét:
Bạn có thể đã phát hiện ra rằng tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn( DBK). Nếu bạn có thể chứng minh được điều này là đúng , và nếu bạn có thể liên hệ từ các diện tích này Với diện tích của các hình vuông, thì bạn sẽ chưngd minh được định lý Pitago. Sau đây là các bước gợi ý để giúp bạn chứng minh định lý.

1. Các tam giác DCG, DCF, và DBK cóchiều dài 1 cạnh bằng nhau đó là : DC và BD( cì đều bằng bán kính đườn tròn.

2. Đoạn PF và PG theo thứ tự là đường cao của 2 tam giác DCF và DCG.

3. Chỉ ra rằng dt DCG + dt DCF = dt DBK.

4. So sánh DCF, DCG, DBK theo thứ với diện tích của các hình vuông CFEB, CAHG, BAGK ?

5. Nếu bạn làm được những yêu cầu trên thì bạn đã chứng minh được định lý Pitago.

(Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)

Chúng thuộc về họ - Phần 1

If I have seen a little further it is by standing on the shoulders of Giants. (Isaac Newton)

Trong loạt bài viết mới này chúng ta sẽ trình bày các định lý được sinh ra bởi các nhà toán học vĩ đại. Hãy bắt đầu với Euler - bậc thầy của chúng ta.
Định lí:
Sau đây là chứng minh gốc của Euler.
Ta sẽ dùng các công thức sau
Nhị thức Newton

Định nghĩa số e

Theo nhị thức Newton ta có

Cho ta có

Công thức khai triển Taylor

Áp dụng cho


và

với mọi số phức z.
Thay vào công thức cuối, kết hợp với các công thức ở trên ta có

Series sách bài tập Toán sơ cấp của Titu Andreescu

Đây là 3 trong series sách bài tập (không biết bao nhiêu cuốn) dùng để giảng dạy cho các học sinh giỏi của Mỹ chuẩn bị cho kỳ thi Olympiad Toán quốc tế.

Nội dung các cuốn sách này thì khỏi phải bàn. Đặc biệt, hầu hết các bài tập đều có lời giải chi tiết.

• Cuốn thứ nhất: 102 Combinatorial Problems: Download
• Cuốn thứ hai: 103 Trigonometry Problems: Download
• Cuốn thứ ba: 104 Number Theory Problems: Download

Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm các cuốn bài tập kinh điển sau (cũng của Titu Andreescu) :

• Old and new inequalities: Download
• Complex numbers from A to Z: Download

Đôi nét về GMAT - Graduate Management Admission Test

Để được nhận vào học MBA (Master of Business Administration - thạc sĩ quản trị kinh doanh) tại Mỹ (và rất nhiều nước khác như Anh, Úc, Singapore v.v..), đa số các trường yêu cầu điểm GMAT (Graduate Management Admission Test). Trường càng danh giá thì yêu cầu điểm GMAT càng cao như để vào được Harvard, Columbia hay Chicago GSB thì bạn phải đạt điểm GMAT từ 730 trở lên mới nên thử nộp đơn. Tuy nhiên chỉ cần điểm GMAT của bạn khoảng từ 500 trở lên là có thể có cơ hội vào trường tốt. Thậm chí có thể thấp hơn một chút nhưng có những thế mạnh khác thì vẫn có thể có khả năng được trường chấp nhận. Vẫn có một số trường không đòi hỏi điểm GMAT nhưng tất nhiên đó không phải là nơi xứng đáng để chúng ta đầu tư tiền bạc, công sức và thời gian để theo đuổi một mảnh bằng.

1. GMAT là gì?
GMAT ( Graduate Management Admission Test ) là một kỳ thi kiểm tra khả năng ngôn ngữ, toán học và viết luận phân tích cho những ai muốn theo học chương trình MBA tại Mỹ và một số quốc gia khác. GMAT cũng có thể là tiêu chí xét tuyển vao ngành thạc sĩ tài chính ( Master of Finance ) hoặc thạc sĩ kế toán ( Master of Accounting), nhưng về cơ bản GMAT được xem là một trong những yêu cầu bắt buộc của các trường kinh doanh ( Business schools /B-schools).

2. Hình thức thi và quy định thời gian
GMAT bao gồm 3 phần thi chính : viết luận phân tích (Analytical writing), toán học (Quantitative) và ngôn ngữ (Verbal).
a) Viết luận:
Phần thi viết luận là phần thi đầu tiên và thí sinh được yêu cầu viết liên tục 2 bài luận với 2 dạng khác nhau: phân tích vấn đề (Analysis of an issue) và phân tích phê bình ( Analysis of an argument). Thời gian quy định cho mỗi bài luận là 30 phút.
b) Toán đố:
Phần thi toán có 2 dạng: tính toán con số ( Data sufficiency) và giải quyết vấn đề ( Problem solving). Phần này bao gồm 37 câu hỏi và thời gian quy định là 75 phút.
c) Ngôn ngữ:
Đây có lẽ là phần thi hóc búa nhất của GMAT, bao gồm 3 dạng: đọc hiểu ( Reading comprehension), suy luận ( Critical reasoning) và sửa lỗi câu ( Sentence correction).Phần thi này bao gồm 41 câu hỏi trong vòng 75 phút.

3. Tại sao GMAT khó ?
- Nếu bạn nghĩ đây là 1 kỳ thi cho phép chọn lựa câu trả lời đúng ( Multiple Choices) nên không đến nỗi đáng sợ lắm thì bạn đã sai lầm. Hầu hết những kỳ thi vào cao học (Graduate schools) ở Mỹ đều là hình thức chọn lựa câu trả lời đúng, ngoài GMAT của trường kinh doanh thì có MCAT của trường y, PCAT của trường duợc, LSAT của trường luật hay GRE general/ GRE subject của các ngành khoa học tự nhiên và xã hội. Đối với GMAT, xác suất chọn lựa câu trả lời đúng một cách may mắn cực kỳ thấp vì ngoài việc có đến 5 lựa chọn câu trả lời cho mỗi câu hỏi thì việc bạn may mắn 78 lần trong tổng cộng 78 câu hỏi là việc không thể xảy ra, và nên nhớ là còn phần thi viết luận.
-GMAT khó vì phải chạy đua nước rút với thời gian, tính trung bình thời gian bạn có cho mỗi câu trả lời của phần thi Toán là 2 phút và 1 phút 30 giây cho mỗi câu trả lời phần thi Ngôn ngữ, ngoài ra bạn phải viết 2 bài luận liên tục với 2 thể loại viết khác nhau trong vòng 60 phút.
- GMAT khó là vì trong khi làm bài, độ khó của câu hỏi sẽ thay đổi tuỳ theo trình độ của người thi. Nói đơn giản là nếu bạn trả lời 1 câu hỏi đúng thì câu thứ 2 sẽ khó hơn 1 chút, càng có nhiều đáp án đúng cho các câu hỏi khó thì điểm của bạn càng cao. Chính vì vậy GMAT luôn luôn khó với tất cả các thí sinh.
- GMAT khó là vì sự phức tạp của câu hỏi cũng như trong các sự lựa chọn câu trả lời. Đòi hỏi người thi có tư duy sắc bén va nhanh nhay, kỹ năng đọc hiểu cực tốt, kỹ năng giải toán vững và chính xác. Phần thi hóc búa nhất của GMAT không phải là phần thi toán hay viết luận mà là phần thi ngôn ngữ. Đa số các thi sinh rất sợ phần thi này, ngay cả các thi sinh người bản xứ với tiếng Anh là ngôn ngữ mẹ đẻ.

4. GMAT là một kỳ thi hay
-GMAT là một kỳ thi mà những thí sinh đạt điểm cao đều là những sinh viên xuất sắc khi vào học MBA (nếu không có những yếu tố khách quan khác). Điểm thi GMAT cũng dự đoán rất nhiều điểm các môn học trong chương trình MBA sau này (theo thống kê ở Mỹ là chính xác tới 90%).
- GMAT không đơn thuần là một kỳ thi, nó thật sự là một kỳ thi của ngành kinh doanh.
GMAT kiểm tra được một phần nào đó những kỹ năng cần thiết của một nhà kinh doanh tương lai. Ví dụ ở phần thi suy luận ( Critical Reasoning), đề bài có thể là một lập luận và công việc của bạn là tìm ra một lý do chính xác nhất (trong những lý do gài bẫy tưởng chừng rất hợp lý) chỉ ra vì sao lập luận đó sai. Điều này cực kỳ lợi hại trong kinh doanh khi bạn sắc xảo nhận ra những điểm yếu của đối phương trong các cuộc thương lượng, đàm phán.

5. Ôn luyện GMAT như thế nào?
- Lên kế hoạch ôn tập trước ngày thi ít nhất 6 tháng
- Có thể đăng ký học luyện thi ở các trung tầm ngoại ngữ ( Việt Nam) hoặc các trường đại học ( Mỹ)
- Có thể tự học :
+ Lên kế hoạch ôn thi cụ thể, bao nhiêu giờ/ngày, ôn cái gì. Sinh viên Việt Nam giỏi học thuộc lòng nhưng thiếu tính kỷ luật và học có phương pháp. Sinh viên Mỹ học rất có kỷ luật, và họ học rất thành công. Đa số những người đạt điểm GMAT cao đều rất chăm chỉ, học tập có phương pháp, một chút thông minh và bền bỉ.
+ Mua sách của những nhà xuất bản uy tín như Kaplan, Manhattan, Barron’s v.v…Thường thi khi mua sách sẽ được tặng 1 tài khoản truy cập them nhiều tài liệu trên trang web của nhà xuất bản. Ngoài ra có thể lên Amazon tìm sách cũ với giá phải chăng hơn.
+ Khi ôn luyện nên làm bài test trên đĩa CD song song với học sách bởi vì hình thức thi GMAT là trên máy tính (Computer adaptive format)

6. Đăng ký thi GMAT
Bạn có thể lên trang: http://www.mba.com/ để đăng ký thi. Thanh toán bằng thẻ tín dụng (credit card) hoặc chi phiếu (check). Hiện tại lệ phí thi là $250 USD. Khi làm thủ tục đăng ký thi, bạn có thể chọn ngày thi có sẳn trong các ngày quy định và địa điểm gần nơi bạn sống nhất.

7. Kết quả thi và gửi điểm đến B-schools
Kết quả thi (Unofficial scores) bạn sẽ được biết ngay sau khi hoàn tất bài thi và kết quả chính thức ( Official score report ) cùng điểm phần thi viết luận sẽ được GMAC (Graduate Management Admission Council) gửi miễn phí đến 5 trường kinh doanh (B-schools) bạn yêu cầu. Nếu yêu cầu thêm (ASR – additional score report), bạn phải trả thêm phí.

Bài tập Giải tích I - II - III của Kaczor, Nowak

Trong các bài viết trước, tôi đã giới thiệu bản dịch tiếng Việt của tập I và tập II (xem ở đây và ở đây) trong 3 tập "Problems in Mathematical Analysis" của Kaczor và Nowak. Thể theo yêu cầu của một số bạn, hôm nay tôi sẽ giới thiệu 3 cuốn nguyên bản tiếng Anh trong loạt sách này.

• Tập I bao gồm các bài tập (và lời giải) về số thực, dãy số và chuỗi số: Download
• Tập II là các bài tập về tính liên tục và khả vi : Download
• Tập III là các bài tập về tích phân: Download

Xem thêm các cuốn sau:

• Bản dịch tập I của Đoàn Chi
• Bản dịch tập II của Đoàn Chi
• Bài tập Giải tích của GelBaum
• Bài tập Giải tích - Đại số của Shakachi

Những lời giải ấn tượng cho các bất đẳng thức lượng giác quen thuộc

Dưới đây là 4 lời giải được lấy trong cuốn sách "Hệ thức lượng giác" của Trần Phương cho 4 bất đẳng thức lượng giác rất quen thuộc. Theo như lời bình luận ở trang 9 của cuốn sách này thì đây là những cách giải mới nhất, ngắn nhất và độc đáo nhất, chưa xuất hiện trong bất cứ cuốn sách nào của tác giả khác đã xuất bản trên thế giới. Các lời giải này đều sử dụng bất đẳng thức đơn giản: , trong khi các lời giải khác đều chứng minh dựa vào (hoặc theo sơ đồ của) bất đẳng thức Jensen.

Gian nan chuyện học thêm

Sáng học 5 tiết tại trường, buổi chiều lại “đèo” thêm 1 hoặc 2 ca học thêm… Lịch học kín mít khiến nhiều học sinh thở không ra hơi nhưng để yên tâm có bạn còn cố gắng tăng ca 3 vào buổi tối. Học thêm đã và đang trở thành 1 phần không thể thiếu và choáng ngợp hết thời gian của mỗi học sinh.

Nhốn nháo… đi học thêm

Đa số các buổi trưa, Quân đều không về nhà mà đi ăn ở quán cơm gần trường để tiết kiệm thời gian. Do khoảng cách từ nhà đến trường khá xa và lịch học thêm kín mít buổi chiều không cho phép Quân về nhà để có thể ăn cơm mẹ nấu. Nhìn Quân lè lưỡi vớt con muỗi ra khỏi bát nước canh trong suất cơm khiến cho người khác vừa có cảm giác buồn cười vừa thấy tội tội. Tuy nhiên, trường hợp của Quân không phải là cá biệt mà có rất nhiều teen cũng như vậy. Về nhà sau khi tan học ở trường đang dần trở thành một khái niệm xa xỉ với nhiều bạn, đặc biệt là những bạn đang học cuối cấp vì những ca học thêm liên tiếp dồn dập nhau.

Có nhiều lý do từ chính đáng đến “hết đỡ” khiến cho teens đi học thêm như: Học trên lớp không đủ, tự học ở nhà thì không đảm bảo, hay sợ bị thầy cô giáo “trù” nếu không đi học thêm... M.Phương (16t) chia sẻ: “Cô chủ nhiệm của em dạy thêm văn nên hầu như cả lớp đứa nào cũng đi học. Tuy cả lớp được chia làm 2 nhóm học vào những ngày khác nhau nhưng vì nhà cô chật nên vẫn phải ngồi chen chúc nhau. Cả giờ học phải ngồi cố định một tư thế mà chép bài. Sau mỗi lần như thế bọn em đứa nào cũng đau hết mình mẩy nhưng vẫn phải cố.”

Dẫu sao được ngồi chép bài như Phương vẫn còn là mơ ước đối với nhiều bạn đi học ở các trung tâm luyện thi. Để có được 1 chỗ ngồi ưng ý nhiều bạn phải đến trước cả nửa tiếng đồng hồ để xếp hàng lên lớp. Chèn người nọ, ép người kia để lấy được chỗ ngồi và giữ chỗ cho bạn của mình cũng đủ làm nhiều bạn “đứt cả hơi” và chẳng có sức lực để tập trung vào bài giảng của thầy cô.
Mục đích chính của học thêm là để mọi người có thể bổ sung và ôn luyện kiến thức của mình nhưng đối với nhiều teens học thêm trở thành một phong trào. Vì “nghe bọn nó nói học ở hết chỗ này đến chỗ khác mà mình chỉ đi học mỗi ở trường thì tự nhiên lại thấy lo lo”- V.Anh (17t), “ Không đi học thêm rồi đến lớp chẳng có chuyện gì mà buôn với bọn bạn luôn. Ai cũng thi nhau kể là mình học ở thầy này thầy kia rồi một ngày học 3, 4 ca. Nếu mình không đi học thêm thì thấy không hợp thời sao ý”- Lan (18t).

Áp lực học quá nhiều khiến cho nhiều bạn bị stress

Học thêm theo phong trào nên thấy ai nói chỗ nào hay, thầy dạy tốt là teens nhà mình đều đi học cho biết nên việc sắp xếp lịch học trở thành một chuyện hết sức nan giải. Ca này trùng vào ca khác mà bỏ buổi nào thì cũng tiếc hoặc đã trót mua phiếu học cả tháng mất rồi. Học thêm cho bằng bạn bằng bè nên nhiều teen đi học chủ yếu với mục đích giao lưu, kết bạn là chính hoặc biến lớp học thêm thành nơi để ngủ.
Tuy nhiên không chỉ có teens mà nhiều bậc phụ huynh cũng “nhốn nháo” vì chuyện đi học thêm. Nhiều bậc phụ huynh cảm thấy không an tâm khi con mình ngồi ở nhà trong khi con người ta thì đi học ầm ầm. Cha mẹ của nhiều bạn quan niệm rằng : "Càng học nhiều thì càng tốt, tranh thủ tối đã thời gian để học” và tích cực đi tìm và đăng kí các lớp học thêm cho con mình. “Thà cho nó đi học nhiều 1 chút, mệt mà có được kiến thức còn hơn để nó ở nhà hay ra ngoài đường long nhong nghịch ngợm. Như thế cô chú không thể nào yên tâm được”- cô L.Thư nói.

Gánh nặng học phí...

Mỗi teen đi học thêm với một mục đích khác nhau nhưng tiền học phí thì bắt buộc ai cũng phải đóng. Và điều đó khiến cho không ít teens và bố mẹ phải “méo mặt”.
Tuy chỉ đi học thêm 3 môn chính Toán, Văn, Anh nhưng 1 tháng Linh cũng phải đóng tầm 600K, cộng thêm cả tiền học phí ở trường 350K, là 1 tháng đã tiêu tốn 1 triệu. Nhà không khá giả gì nên Linh thấy rất ngượng mỗi khi phải xin tiền bố mẹ đóng học, “Em hay là người đóng tiền sau cùng của cả lớp nên thỉnh thoảng bị cô giáo nhắc nhở. Những lúc như thế em chẳng biết phải giải thích như thế nào”.
Đăng kí học hết lớp này sang lớp khác, mỗi khi xin tiền học Dũng thường khiến bố mẹ tá hoả vì số tiền quá nhiều. Khi nghe bố mẹ khuyên nên bỏ 1 số lớp học không cần thiết thì Dũng đâm ra “dỗi” và cho rằng bố mẹ không đầu tư cho việc học của mình.
Đặc biệt đối với teens cuối cấp thì gánh nặng tiền học phí càng được nhân lên gấp nhiều lần. Cắt giảm chi tiêu trong nhà để trả tiền học thêm là chuyện thường thấy trong nhiều gia đình.
Nhiều bạn còn rơi vào tình trạng stress do bị bố mẹ nghi ngờ khi xin quá nhiều tiền học thêm. “Mình mệt mỏi lắm. Xin nhiều cũng bị nói mà xin ít thì cũng bị kêu là thế tháng trước lấy tiền đi chơi à? Mình cũng đâu có thích đi học thêm cơ chứ. Nhiều khi chỉ muốn ở nhà ngủ thôi”- B.Trâm (18t) tâm sự.

(Theo kenh14.vn)