Liên hệ Toán học với thực tiễn - Phần 1

Mục này sẽ trích đăng bài viết "Một số kinh nghiệm trong việc liên hệ các yếu tố toán học với thực tiễn" của PGS.TS Nguyễn Hoàng
1. Minh hoạ nhờ chuyện cổ tích, chuyện vui.
Nhiều chuyện cổ tích trong và ngoài nước đôi khi ẩn chứa một sự kiện toán học nào đó ta có thể khai thác để kể trong lúc giảng bài đến chủ đề phù hợp. Vài ví dụ quen thuộc có thể dẫn ra như sau:
- Chuyện Vương Khải và Thạch Sùng khoe của: "Nhà anh có bất cứ bảo vật gì thì nhà tôi cũng có," Thạch Sùng tuyên bố. Vương Khải chấp nhận thách thức đánh cuộc để rồi cuối cùng Thạch Sùng ôm hận thất bại vì còn thiếu mẻ kho, có thể minh hoạ hai tập hợp không có cùng lực lượng.
- Chuyện về nhân vật Nasreddin của xứ sở BaTư. Một lần, nhà thông thái hỏi Nasreddin rằng, có bao nhiêu sợi lông trên đuôi con lừa mà ông ta đang cưỡi. Nasreddin trả lời rằng nó đúng bằng số râu của nhà thông thái. Khi yêu cầu chứng minh, Nasreddin bảo như sau: "Cứ mỗi lần ông nhổ một sợi lông trên đuôi lừa, tôi sẽ nhổ một sợi râu của ông. Chừng nào đuôi lừa trụi lông thì râu ông cũng sẽ hết. Đó là chứng minh".
Như vậy, ta có ví dụ về cách chứng minh 2 tập có cùng lực lượng bằng việc thực hiện một song ánh.
- Câu chuyện về anh chàng cạo râu không tự cạo cho mình: Chúng ta biết rằng, khái niệm "tập hợp" ban đầu được dùng rộng rãi nhưng chẳng mấy chốc người ta thấy rằng nó cũng lộn xộn, mâu thuẫn. Có ông thợ cạo, vốn là cư dân của làng Toán, tuyên bố: "Tôi chỉ cạo râu cho những người đàn ông nào của làng Toán mà không tự cạo râu". Như thế các đấng nam nhi của làng Toán chia làm 2 nhóm: nhóm tự cạo râu và nhóm không tự cạo râu. Vậy thì ông thợ cạo thuộc nhóm nào đây? Nếu thuộc nhóm 1 tức là nhóm tự cạo râu nên ông không cạo cho những người tự cạo râu, tức là ông không cạo cho ông. Nhưng nếu như vậy thì ông thuộc nhóm hai. Nếu ở nhóm 2 thì ông sẽ cạo râu cho ông vì ông cạo râu cho những người thuộc nhóm 2. Lúc đó hoá ra ông lại tự cao râu cho mình. Té ra ông ấy thuộc loại đại khó tính, xếp vào nhóm nào cũng gặp mâu thuẫn cả! Câu chuyện này minh họa cho mâu thuẫn khi xét đến "Tập hợp của tất cả các tập hợp".
2. Minh hoạ nhờ ca dao, văn thơ.
- Chuyện vuông, tròn: Khi mô tả hình cầu đơn vị trong không gian Rn theo các mêtric khác nhau, chúng ta có các hình cầu thông thường hay hình lập phương đều được gọi chung là hình cầu. Chúng nó là tròn hay vuông tuỳ theo ta chọn mêtric loại gì, nghĩa là tròn, vuông phụ thuộc vào chủ quan của con người. Cũng vậy, hình tròn đơn vị trong mặt phẳng R2 với hệ toạ độ Đề các là tập {(x,y) x2 + y2 £ 1} nhưng trong toạ độ cực thì nó chính là hình chữ nhật [0,2p] x [0,1]. Câu ca dao thích hợp cho các trường hợp này là:
“Thương nhau củ ấu cũng tròn,
Ghét nhau quả bồ hòn cũng méo”
vì chưng tròn hay méo phụ thuộc chủ quan, tình cảm hay hệ quy chiếu của chủ thể.
- Việc diễn tả tính phụ thuộc liên tục nghiệm của phương trình theo dữ kiện ban đầu (tức là sự ảnh hưởng, tác động của môi trường lên nghiệm của phương trình) có thể diễn tả bằng câu “Gần mực thì đen, gần đèn thì sáng” hoặc “ Ở bầu thì tròn, ở ống thì dài”.
- Diễn tả 2 chuẩn (hoặc 2 mêtric) cho trên một tập không tương đương với nhau, ta có thể dùng thành ngữ “Gần nhà, xa cửa ngõ”, (trường hợp giữa hai nhà có một giòng sông chia đôi, khoảng cách một bên tính theo đường chim bay, một bên tính theo thời gian đi thực tế, chẳng hạn) hoặc bài thơ “Xa cách” của Xuân Diệu:
“ Có một dạo anh ngồi xa em quá
Anh bảo em ngồi xích lại gần hơn.
Em ngồi gần anh lại thấy xa hơn... "
Đó là do 2 mêtric hình học và mêtric tình cảm giữa các đối tượng "anh, em" không tương đương.
...(còn tiếp)...

Số e - Trong Giải tích

Lý do chính để đưa ra số e, đặc biệt trong giải tích, là để lấy vi phân và tích phân của hàm mũ và logarit. Một hàm mũ tổng quát y=a^x có đạo hàm dưới dạng giới hạn:

Giới hạn ở bên phải độc lập với biến x: nó chỉ phụ thuộc vào cơ số a. Khi cơ số là e, giới hạn này tiến tới một, và do đó e được định nghĩa bởi phương trình:
Do đó, hàm mũ với cơ số e trong một số trường hợp phù hợp để làm giải tích. Chọn e, không như một số số khác, là cơ số của hàm mũ làm cho tính toán chủ yếu về đạo hàm đơn giản hơn rất nhiều.
Một lý do khác đến từ việc xét cơ số logarit a. Xét định nghĩa của đạo hàm của logax bởi giới hạn: Một lần nữa, có một giới hạn chưa xác định mà chỉ phụ thuộc vào cơ số a, và nếu cơ số đó là e, giới hạn là một. Vậy Logarit trong trường hợp đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên (thường được kí hiệu là "ln"), và nó cũng dễ dàng lấy vi phân vì không có giới hạn chưa xác định nào phải thực hiện trong khi tính toán.
Do đó có hai cách để chọn một số đặc biệt a=e. Một cách là đặt sao cho đạo hàm của hàm số ax là ax. Một cách khác là đặt sao cho đạo hàm của logarit cơ số a là 1/x. Mỗi trường hợp đều đi đến một lựa chọn thuận tiện để làm giải tích. Thực tế là, hai cơ số có vẻ rất khác nhau này lại chỉ là một, số e.

Các đặc điểm khác
Một số đặc điểm khác của số e: một là về giới hạn dãy, một cái khác là về chuỗi vô hạn, và vẫn còn một số khác về tích phân. Trên đây ta đã giới thiệu hai tính chât:
1. Số e là số thực dương duy nhất mà : Đạo hàm của hàm số mũ cơ số e chính là hàm số đó

2. Số e là số thực dương duy nhất mà

Các tính chất khác sau đây cũng được chứng minh là tương đương:
3. Số e là giới hạn

4. Số e là tổng của chuỗi vô hạn trong đó n! là giai thừa của n.

5. Số e là số thực dương duy nhất mà

(nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol f(t) = 1 / t từ 1 tới e là bằng một)

Số e - Ứng dụng

Bài toán lãi suất kép

Jacob Bernoulli đã khám phá ra hằng số này khi nghiên cứu vấn đề về lãi suất kép

Một ví dụ đơn giản là một tài khoản bắt đầu với $1.00 và trả 100% lợi nhuận mỗi năm. Nếu lãi suất được trả một lần, thì đến cuối năm giá trị là $2.00; nhưng nều lãi suất được tính và cộng hai lần trong năm, thì $1 được nhân với 1.5 hai lần, ta được $1.00×1.52 = $2.25. Lãi kép hàng quí ta được $1.00×1.254 = $2.4414…, và lãi kép hàng tháng ta được $1.00×(1.0833…)12 = $2.613035….

Bernoulli để ý thấy dãy này tiến tới một giới hạn với kì lãi kép càng ngày nhỏ dần. Lãi kép hàng tuần ta được $2.692597… trong khi lãi kép hàng ngày ta được $2.714567…, chỉ thêm được hai cent. Gọi n là số kì lãi kép, với lãi suất 1/n trong mỗi kì, giới hạn của n rất lớn là một số mà bây giờ ta gọi là số e; với lãi kép liên tục, giá trị tài khoản sẽ tiến tới $2.7182818…. Tổng quát hơn, một tài khoản mà bắt đầu bằng $1, và nhận được (1+R) đô-la lãi đơn, sẽ nhận được eR đô-la với lãi kép liên tục.


Phép thử Bernoulli

Số e cũng có ứng dụng trong lý thuyết xác suất, trong đó nó phát triển theo cách mà không hiển nhiên liên quan đến độ tăng hàm mũ. Giả sử rằng một con bạc chơi slot machine, một triệu lần, kỳ vọng được thắng một lần. Khi đó xác suất mà con bạc không thắng được gì là (xấp xỉ) 1/e.

Đây là một ví dụ về phép thử Bernoulli. Mỗi lần con bạc chơi một lượt, có thêm một trong một triệu cơ hội thắng. Việc chơi một triệu lần được mô hình hóa qua phân phối nhị thức, có liên hệ mật thiết với định lý nhị thức. Xác suất thằng k lần và thua các lần còn lại là
Đặc biệt, xác suất không thắng lần nào (k=0) là
Số này rất gần với giới hạn sau (1/e )
...(còn tiếp)...

Số e - Lịch sử

Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất bản vào 1618 trong bảng phụ lục của một công trình về logarit của John Napier. Thế nhưng, công trình này không chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh sách các logarit tự nhiên được tính toán từ hằng số e. Có thể là bảng này được soạn bởi William Oughtred. Chỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện bởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá trị của biểu thức:
Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểu diễn bởi chữ cái b, là trong liên lạc thư từ giữa Gottfried Leibniz và Christiaan Huygens giữa 1690 và 1691. Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số vào 1727, và việc sử dụng e lần đầu tiên trong một ấn bản là cuốn Mechanica của Euler (1736). Trong những năm sau đó một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ cái c, e trở nên phổ biến và cuối cùng trở thành tiêu chuẩn.

Lí do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưa được biết, nhưng có thể đó là chữ cái đầu tiên của từ exponential (tiếng Anh: nghĩa thông thường là tăng nhanh chóng, nghĩa trong toán học là hàm mũ). Một khả năng khác đó là Euler sử dụng nó bởi vì nó là nguyên âm đầu tiên sau a, chữ cái mà ông đã sử dụng cho một số khác, nhưng tại sao ông lại sử dụng nguyên âm thì vẫn chưa rõ. Dường như không phải Euler sử dụng chữ cái đó bởi vì nó là chữ cái đầu trong tên của ông, do ông là một người rất khiêm tốn, luôn cố gắng tuyên dương đúng đắn tới các công trình của người khác.

...(còn tiếp)...

Trăng khuyết

(Một chút văn sẽ không lạc loài chứ nhỉ?)
Một tuyệt tác của Phi Tuyết Ba

Anh ngỏ lời yêu em
Vào một đêm trăng khuyết
Bởi tình yêu tha thiết
Biết tròn lúc đêm rằm

Em vui lúc trăng tròn
Chạnh lòng khi trăng khuyết
Anh ơi anh có biết
Trăng hay tình lứa đôi?

Sao anh lại ngỏ lời
Vào một đêm trăng khuyết
Để bây giờ thầm tiếc
Một tình yêu không tròn

Được Huy Thục phổ nhạc . Hãy thưởng thức...

Số PI - Phần 3 : Hỗ độn số PI

Một tia hy vọng đã chiếu xuống cho các nhà toán học. Cách đây sáu năm, hai nhà nghiên cứu Canada, Simon Plouffe và Peter Borwein đã cộng tác với nhà nghiên cứu Mỹ David Bailey và đã tìm ra một công thức có thể tính bất kỳ chữ số nào của pi mà không cần biết tới những chữ số nằm phía trước. Jean Paul Delahaye nhấn mạnh: “Kết quả này đã làm mọi người ngạc nhiên. Cách đây vài chục năm, những nhà toán học sẽ cười ngạo mạn, nếu bạn hỏi họ có một công thức nào như vậy không!” nhưng khuyết điểm của công thức này là nó chỉ đúng với cách viết nhị phân, chứ không đúng theo cách viết thập phân của pi (3,14159…) viết số theo lối nhị phân là cách viết trong tin học, chỉ dùng số 0 và số 1. Theo cách viết nhị phân, thì pi sẽ được viết thành: 11,0010010000111… thí dụ, công thức Bailey-Borwein-Plouffe cho phép ta tính ra chữ số lẻ thứ năm tỷ, viết theo lối nhị phân: đó là số 0. Nhưng công thức này không cho phép ta tìm ra chữ số lẻ nếu viết theo cách thập phân.

Thuy vậy, công thức này đã giúp ta hiểu rõ hơn về tánh chuẩn của pi. Nhờ “công thức thần diệu” đó, David Bailey đã nhận xét rằng, nếu viết theo lối nhị phân, thì từ bất kỳ chữ số nào, ta cũng có thể tìm ra chữ số tiếp theo. Sự nối tiếp của 0 và 1 trong cách viết nhị phân của hằng số pi chỉ là kết quả của một phép tính mà ta sẽ lặp đi lặp lại.

Mặt khác, phương thức này lại rất giống cách tính angorit trong tin học: dùng angorit để tạo ra một chuỗi số ngẫu nhiên (thí dụ như trong cách giải mật mã). Cũng có nghĩa là áp dụng công thức vào một con số nào đó, rồi lặp đi lặp lại phép tính trên các số thành vừa có, thì ta được một chuõi số thoạt nhìn có vẻ như không theo một thứ tự nào cả và hình như rất ngẫu nhiên. Một agorit như thế được gọi là “hỗn độn”: chỉ cần con số đầu tiên khácđi một chút hay công thức cũng khi một chút hayc ông thức cũngkhác đi một chút thì chuỗi số sẽ hoàn toàn khác hẳn. Như thế, các số lẻ của pi có tính cách hỗn độn.

David Bailey nói thêm: “Liền sau khi vừa khám phá ra công thức này, tôi có cảm tưởng như đã tìm ra sợi dây nối giữa số lẻ của pi và động lực hỗn hợp”. Như thế, nhà toán học linh cảm đã gặp được một thông tin quan trọng hàng đầu. Tánh hỗn độn của pi có thể cắt nghĩa cái vẻ vô trật tự của các số lẻ? Ít ra là có thể chứng minh được tánh chuẩn của nó, điều đó có nghĩa là mỗi chữ số được xuất hiện đồng đều như nhau, giống như trong dãy số vô trật tự?

David Bailey nhìn nhận: “Hồi đó, tôi chưa đủ khả năng tìm hiểu sâu vào cái trực giác này. Sự kết nối giữa tánh chuẩn và tánh hỗn hợp đã chỉ thực hiện được gần đây bởi Richard Crandall”. Và 2 nhà nghiên cứu đã công bố kết quả vào tháng 6.2001 trong tạp chí Experimental Mathematics.

Tính hỗn độn của pi có thể cắt nghĩa cái vẻ vô trật tự đó không?

Trọng tâm của việc này là thiết lập một giả định (conjecture) mới. Giả định là một giả thuyết được coi như đúng nhưng chưa được chứng minh. Với giả định Crandall-Bailey, ta có thể viết các số theo lối nhị phân bằng cách áp dụng công thức từng bước một. Đó cũng là trường hợp của pi, như David Bailey đã nhận xét.

Theo giả định của hai nhà nghiên cứu, hoặc là dãy số 0 và số 1 của các hằng số hỗn độn được xem như là một dãy tuần hoàn, mà chu kỳ sẽ lặp đi lặp lại cho đến vô tận, hoặc là những con số 0 và những con số 1 được phân phối một cách đồng nhất. Trong trường hợp thứ nhất, hằng số đó là một số chuẩn. Mặt khác, người ta cũng biết rằng pi không phải là một số hữu tỷ… do đó, pi là một hằng số chuẩn. Đó là điều phải chứng minh.

Nếu ta có thể chứng minh giả định này thì ta đã chứng minh được rằng pi là một số chuẩn. David Bailey tự hào: “Chúng tôi đã chuyển dịch một bài toán không giải đáp được của số học thành một bài toán về cơ động học hỗn độn, dễ giải đáp hơn”. Dễ giải đáp hơn? Chưa chắc như vậy đâu. “Tôi không biết bằng cách nào người ta có thể chứng minh giả định này”, Jeffrey Lagarias, một chuyên viên người Mỹ về động cơ học ngẫu nhiên, đã phải thú thật như thế sau khi đã nghiên cứu khám phá của D. Bailey.

Giới toán học đã tuần tự nghiên cứu giả định này trong vòng hơn một năm nay, nhưng chưa thấy ai đề nghị một hướng ra nào. Công bố của D. Bailey vẫn y nguyên, như thế cũng có nghĩa là thừa nhận sự thất bại. “Nếu việc làm của Bailey và Crandall đã biến đổi cách nhìn về vấn đề, nhưng nó vẫn chưa thay đổi toàn diện vấn đề. Tánh chuẩn của pi đã là một câu hỏi không giải đáp, thì bây giờ nó vẫn làmột câu hỏi không giải đáp”. Nhưng còn tệ hơn thế nữa: giả như một ngày nào đó, người ta chứng minh được giả định Bailey-Crandall thì đó vẫn chưa đủ để khẳng định rằng pi là một số chuẩn đâu. Lý do là không phải tại vì pi là số chuẩn trong cách viết nhị phân rồi sẽ là số chuẩn trong cách viết thập phân. Những con số 0 và số 1 có thể được phấn phối rất đồng thời trong cách viết nhị phân, nhưng trong cách viết thập phân (viết bằng số 0,1,2,…,9) thì vẫn chưa chắc. Muốn khùng luôn…

Những tiêu chuẩn còn khiếm khuyết

Lại còn tệ hơn thế nữa: tánh chuẩn chưa phải là tiêu chuẩn đủ để định nghĩa tánh ngẫu nhiên của một dãy số. Thử xem lại số Champemowne (0,123456789101112…). Đó là một số chuẩn vì các số lẻ được phân phối một cách đồng nhất, nhưng mà dãy số lẻ đó cũng hoàn toàn trật tự… các nhà tin học đã tìm kiếm những tiêu chuẩn khác để ước lượng tánh ngẫu nhiên tạo thành bởi những dãy số. Các dãy số con tự nhiên mà ta đã rút được (bằng cách lấy ra một con số trên mười chẳng hạn) phải là một dãy số chuẩn. Hay là tốc độ để các tần số xích lại gần nhau phải theo một công thức rõ rệt… “Người ta có thể tìm ra bao nhiêu tiêu chuẩn cũng được, nhưng những tiêu chuẩn này không bao giờ đủ định nghĩa một cách chính xác tánh ngẫu nhiên của một dãy số”. Thống kê học không thể nào cho ta một định nghĩa chính xác về ngẫu nhiên. Dù pi có thể nghiệm đúng tất cả các tiêu chuẩn thống kê, nhưng cũng đừng mong như vậy là ta đã chứng minh được tánh ngẫu nhiên của nó.

Trong suốt thế kỷ thứ 20, các nhà toán học đã hiểu rằng chỉ có một cách định nghĩa được tánh ngẫu nhiên là phải dùng lý thuyết thông tin (théorie de l’information): một dãy số là ngẫu nhiên nếu ta không thể tóm lược chúng, không thể nén chúng lại, không thể tổng hợp chúng bằng một công thức ngắn. Nhưng mà pi lại có thể tóm tắt bằng nhiều phương trình. Chẳng hạn như ta chỉ cần cộng các số 4/1- 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 +… và cứ tiếp tục như thế, rồi từ từ ta có thẻ tìm thấy tất cả các số lẻ nổi tiếng của pi: pi không phải là một số ngẫu nhiên!

Như vậy thì pi theo một trật tự huyền bí nào? Những nhà toán học thừa biết rằng họ đang phải đối đầu với với một dãy số rất đặc biệt, nhưng họ không biết là đặc biệt như thế nào. Cái trật tự duy nhất của các số lẻ của pi mà họ đã kiểm tra ra được là cái trật tự của … các số lẻ của pi! Có đáng tức không?

Đã đăng: PHẦN 1 - PHẦN 2

Lịch sử số PI - Phần 2

Một khám phá mới đây đã cho biết rằng lý thuyết hỗn độn có thể mang lại một chút trật tự cho chuỗi số lẻ đầy bí hiểm của số pi. Nhưng cái chuỗi số rắc rối này vẫn không ngừng ám ảnh các nhà toán học…

Muốn chọc tức một nhà toán học thì có một cách rất dễ: cứ bảo anh ta vẽ một vòng tròn, đo chu vi vòng tròn đó, đem chu vi đó chia cho đường kính rồi ghi lấy số thành. Mới đầu anh ta đưa ra một giải đáp phỏng chừng là: 3,14. Và nếu tính kỹ hơn, anh ta sẽ đưa ra một con số càng lúc càng nhiều số lẻ: 3,14159265… rồi anh ta lại có thể viết ra tới 200 tỷ số lẻ nếu anh ta lấy từ những tài liệu mà người ta vừa mới tính ra hai năm nay.

Cứ hỏi cảm nghĩ của anh ta về những số lẻ nhiều như thác lũ này. Có một thứ tự nào không? Các chữ số xuất hiện ra có theo một quy luật nào không? Hay là sự xuất hiện đó chẳng thưo một trật tự nào cả, xem như là các chữ số vì ngẫu nhiênmà có? Câu hỏi có vẻ hời hợt như thế nhưng nhà toán học sẽ lúng túng khi trả lời. Mà đúng như thế, anh ta không biết gì cả để trả lời cho ra lẽ, thế mới tức…

Thì đồng ý rằng chuyện đó trong thực tiễn chẳng có gì quan trọng cả. Một bài tính vật lý chỉ cần tới vài ba chục con số lẻ là cùng. Đó là một thách thức mà các nhà toán học phải đảm nhận: có hay không một trật tự trong các số lẻ của pi, một hằng số căn bản nhất? Một thách đố mà một khi chưa có giải đáp sẽ luôn ám ảnh đầu óc các nhà toán học. Vì đó cũng gần như là một việc bảo vệ danh sự.

Chỉ có một điều biết chắc chắn đã 300 năm nay: pi là một số vô tỷ, ta không thể viết nó dưới dạng phân số của 2 số nguyên. Các số hữu tỷ như ¾ (số thập phân là 0,75) hay 1/11 (0,09090909…) mà số lẻ làmột số hữu hạn hay là là một số có chu kỳ. Trong khi đó, các số lẻ của pi thì vô hạn và không thấy có một chu kỳ nào cả.

Nhưng các nhà toán học vẫn chưa thỏa mãn với nhận xét trên: vô tỷ nhưng chưa hẳn là vô trật tự. Thử lấy con số Champemowne mà khi viết các số lẻ thì cũng như ta tuần tự đếm các số nguyên: 0,12345678910111213… các con số nối đuôi nhau kéo dài tới vô tận, không lạp lại, nhưng theo một thứ tự rõ rệt. Và như thế, câu hỏi về những số lẻ của pi vẫn chưa có giải đáp. Có khác biệt nào giữa các số lẻ của số pi và một dãy số lấy ra một cách ngẫu nhiên?

Pi có phải là một số chuẩn không?

Đặc điểm chính của dãy số ngẫu nhiên đã được Emile Borel, một người Pháp, định nghĩa: tách chuẩn (normalité). Một số được gọi là chuẩn, nếu mỗi chữ số của cái chuỗi vô tận của các số lẻ xuất hiện cùng tần số. Điều đó có nghĩa là chữ số 1 là 10%, chữ số hai là 10%, và chữ số 3, chữ số 4 cho tới chữ số 9 cũng như thế. Chưa hết, những số gồm 2 chữ số cũng phải được xuất hiện cùng tần số là 1%. Những số gồm 3 chữ số với cùng tần số là 1/1000… Nói tóm lại, trong một số chuẩn, những đoạn số có cùng chiều dài phải được xuất hiện cùng tần số. Nếu một chữ số xuất hiện nhiều lần hơn các chữ số lẻ khác thì số đó không được gọi là số ngẫu nhiên .

Pi có đủ các tiêu chuẩn thống kê này không? Thoạt nhìn thì có. Năm ngoái, nhà thống kê học người Mỹ Ted Jaditz đã nghiên cứu tần số của các đoạn số cho tới 16 chữ số của pi. Và việc kiểm nghiệm thống kê này đã chứng minh rằng không có sự sai biệt đáng kể nào khi đem so sánh với một số ngẫu nhiên. Lúc đầu, ông ta thấy chữ số 7 xuất hiện ít, chỉ có 7,2% trong 500 số lẻ đầu tiên. Nhưng sau đó, cái khác thường này đã vội biến mất: chữ số 7 đã xuất hiện 9,99998% lần trong 200 tỷ số tiếp theo. Như vậy thoạt nhìn thì pi là một số chuẩn.

Nhưng khám phá này vẫn chưa làm vừa lòng các nhà toán học. Có gì để chứng minh rằng chữ số 7 lại không xuất hiện với một tần số nhỏ hơn kể từ số lẻ ngàn tỷ? Hay ngược lại, kể từ số lẻ ngàn tỷ, chữ số 7 lại xuất hiện với tần số cao hơn? Chẳng có một kiểm nghiệm thống kê nào có thể kiểm chứng được tánh chuẩn của vô tận các số lẻ…

Do đó, cái mà các nhà toán học cần là một chứng minh, một chằng chứng toán học của tánh chuẩn của pi. Và chưa thấy ai đã làm được điều đó. “Ngoài cái việc tính tần số ra, người ta vẫn chưa biết nếu tất cả các chữ số đã xuất hiện ít ra là một lần trong các số lẻ của pi”, ông Jean Paul Delahaye, nhà nghiên cứu ở Viện tin học cơ bản thành phố Lille và tác giả cuốn sách Fasciant nombre pi, đã phải bực mình thốt lên như thế.
...(còn tiếp)...
Đã đăng: Phần 1