Ngô Bảo Châu và Bổ đề cơ bản lên lịch Tân Mão 2011

Ngô Bảo Châu và Bổ đề cơ bản trong bộ lịch Tân Mão 2011: Download
Công ty Cổ phần Công nghệ Tinh Vân với sự đóng góp của GS Ngô Bảo Châu, họa sĩ Lê Tâm, thiết kế Đinh Anh Quân đã phát hành lịch Tân Mão 2011 gồm 12 tranh với chủ đề Bổ Đề Cơ Bản…

Tháng tám mùa thu năm Canh Dần, tức 2010 dương lịch, Việt Nam hân hoan đón nhận tin GS. Ngô Bảo Châu đoạt giải thưởng Fields, giải thưởng danh giá tương đương với giải Nobel cho Toán học. GS. Ngô đã chứng minh sáng sủa “Bổ đề Cơ bản”, là bí kíp vô cùng quan trọng trong bản tổng phổ Langlands – Chương trình kết nối mọi lĩnh vực của toán học hiện đại. “Bổ đề Cơ bản” tuy chỉ là một vấn đề kỹ thuật, nhưng nó đã gây lúng túng cho nhiều cao thủ hơn 30 năm qua. Thành tựu đột phá của Ngô giúp các nhà toán học tiến lên trong việc chinh phục cả “Chương trình Langlands”.

Lý thuyết số
Lepold Kronecker (1823-1891)
Để hiểu “Bổ đề Cơ bản” ta cần có khái niệm về lý thuyết số. Số là cách thức con người nguyên thủy ghi lại số lượng các đối tượng như súc vật nuôi, bạn bè, khách hàng… Năm 700 TCN người Babylon đã phát minh ra số 0, sau được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực tài chính. Nhà toán học Đức Kronecker từng nói: “Chúa trời đã tạo ra các số nguyên, phần việc còn lại là của chúng sinh”. Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat được coi là sư tổ của lý thuyết Số hiện đại đồng thời là tác giả “Định lý Fermat lớn”, định lý đã làm chấn động toán lâm và điên đầu vô số hảo thủ trong gần bốn thế kỷ.

Evariste Galois (1811-1832)Lý thuyết Nhóm là ngành nghiên cứu về các cấu trúc đại số có tính đối xứng. Lý thuyết Nhóm đặc biệt được ứng dụng rộng rãi trong vật lý hiện đại, được xuất hiện lần đầu trong công trình của nhà toán học mãi mãi tuổi 21 người Pháp Évariste Galois vào năm 1830. Rất nhiều cấu trúc toán học khác nhau được quy về cấu trúc Nhóm. Đặc biệt quan trọng là các nhóm Lie, được xem như là họ của các phép đối xứng biến đổi trơn tru. GS. Ngô đã chứng minh “Bổ đề Cơ bản” cho trường hợp riêng với nhóm Unita vào năm 2004 và tổng quát với toàn bộ nhóm Lie năm 2008.

Pierre de Fermat (1601-1665)
Năm 1637 đại sư tổ môn phái toán học Pháp là Pierre de Fermat đã viết vào lề cuốn “Số học” của Diophante thời Hy Lạp cổ đại mấy dòng chữ sau: “Phương trình xⁿ+ yⁿ=zⁿ không có nghiệm nguyên dương khi n lớn hơn 2. Tại hạ đã tìm được cách chứng minh tuyệt vời nhưng đáng tiếc lề sách không đủ rộng để ghi ra đây”. Điều khẳng định bí ẩn trên, sau được gọi là “Định lý Fermat lớn” đã trở thành một thách đố làm bối rối những bộ óc vĩ đại nhất của nhân loại. “Định lý Fermat lớn” chỉ được chứng minh triệt để vào năm 1995 bởi nhà toán học Anh A. Wiles.

Giải thuyết Taniyama – Shimura
Hai nhà toán học Nhật Bản Y. Taniyama và G. Shimura

Giữa thế kỷ 20, hai cao nhân Nhật Bản là Yukata Taniyama và Goro Shimura đưa ra phỏng đoán thiên tài là mỗi phương trình eliptic đều có liên hệ với một dạng modular. Nếu đúng, giả thuyết này sẽ giải quyết nhiều bài toán số học cho đến any chưa giải quyết được bằng cách tiếp cận qua thế giới hình học. Mùa thu năm 1984 nhà toán học Gerhard Frey đã kết luận rằng nếu chứng minh được “Giả thuyết Taniyama – Shimura” thì cũng có nghĩa là chứng minh được “Định lý Fermat lớn”, bởi vì định lý này chỉ là một hệ quả của giả thuyết trên.

Robert Phelan Langlands (1936)
Trong những năm 60, nhà toán học Canada R. Langlands đưa ra một loạt giả thuyết về những mối liên hệ giữa nhiều ngành toán học vốn rất khác nhau, và kêu gọi giới toán học quốc tế hợp tác chứng minh những giả thuyết đó, cấu thành “Chương trình Langlands”.

Ngô Bảo Châu nhận xét: “Các giả thuyết Langlands là động lực cho sự phát triển của toán học lý thuyết trong vòng bốn chục năm trở lại đây. Rất nhiều bài toán tưởng như là những viên gạch riêng lẻ, nay được các giả thuyết của Langlands sắp xếp lại thành một công trình kiến trúc vĩ đại…”

Andrew John Wiles (1953)Hứng thú với “Giả thuyết Tayniyama – Shimura” và “Định lý Fermat lớn”, nhà toán học Anh A. Wiles đã âm thầm nhập thất, đóng cửa luyện công trong bảy năm liền để tìm kiếm lời giải cho bài toán xuyên thế kỷ. Dù trong quá trình khổ luyện có lúc tẩu hỏa nhập ma, nhưng với bản lĩnh cao cường năm 1995, A. Wiles đã tái xuất giang hồ và công bố cách chứng minh “Định lý Fermat lớn”, chấm dứt 358 năm căng thẳng của toán giới. Nhưng kết quả có ý nghĩa lớn hơn nhiều là “Giả thuyết Tayniama – Shimura” được chứng minh
đồng nghĩa nền tảng “Chương trình Langlands” là vững chắc.

Công thức vết Arthur – SelbergJames Arthur (1944)

Một trong những công cụ được coi là bảo bối phát triển từ “Chương trình Langlands” là “Công thức vết Arthur – Selberg”, một phương trình cho thấy có thể dùng các phương pháp hình học để tính toán những bài toán số học. Nhưng chính Langlands đã gặp một trở ngại lớn khi sử dụng bảo bối này bởi xuất hiện những tích phân quỹ đạo phức tạp. Theo Langlands các tích phân này bằng nhau nhưng ông không thể chứng minh được. Ông gọi nó là “Bổ đề Cơ bản”

“Bổ đề Cơ bản” gắn liền với một giả thuyết quyết định, một bộ phận không thể tách rời của “Chương trình Langlands”, khó chứng minh đến mức mà 30 năm qua nhiều cao thủ toán học hàng đầu – kể cả chính Langlands – đã ra sức lao vào giải quyết nhưng đều thất bại. GS. Ngô viết: “Bổ đề Cơ bản không hẳn là bổ đề vì ông Langlands chỉ chứng minh nó trong một trường hợp đặc biệt, còn trường hợp tổng quát thì được nêu như một giả thuyết. Còn “cơ bản” là vì cả một góc lớn của chương trình kể trên sẽ sụp đổ nếu nó không đúng”.

Sư phụ G. Laumon (1952)
Do vai trò đặc biệt quan trọng của “Bổ đề Cơ bản”, nhiều nhà toán học đã nỗ lực và chứng minh được một số trường hợp riêng. Năm 1979, Labesse và Langlands chứng minh được cho nhóm SL (2). Sau đó Kottwitz chứng minh cho nhóm SL(3), và Waldspurger chứng minh cho toàn bộ nhóm SL(n). Đến 2004, GS. Ngô Bảo Châu và sư phụ là GS. Laumon đã song kiếm hợp bích chứng minh cho toàn bộ nhóm unita U(n). Với kết quả này, Laumon và Ngô Bảo Châu được trao giải thưởng nghiên cứu Clay vào năm 2004.

Công trình được Time bình chọn là một trong 10 khám phá năm 2009. Đầu năm 2008, GS. Ngô Bảo Châu công bố một chứng minh hoàn chỉnh cho “Bổ đề Cơ bản” trong trường hợp tổng quát cho các đại số Lie. Lúc đầu công trình dài 150 trang. Sau khi lược bỏ bớt những điều không phục vụ trực tiếp cho chứng minh “Bổ đề Cơ bản” và diễn giải chi tiết hơn, công trình dài thành 188 trang. Dù ý tưởng chứng minh rất rành rọt, các nhà toán học hàng đầu vẫn phải mất hơn 1 năm để kiểm chứng nó. Năm 2009, công trình được tạp chí Time bình chọn là một trong 10 khám phá khoa học quan trọng nhất của năm.

Sự thống nhất lớn
Công trình của GS. Ngô Bảo Châu đã đặt thêm những viên gạch vững chắc cho nền móng của “Chương trình Langlands”, thống nhất mọi lĩnh vực của toán học hiện đại.

Trong vật lý hiện đại các nhà vật lý cũng đang nỗ lực cho một lý thuyết thống nhất lớn ọi là M-Theory với chữ M có gốc từ chữ Mother (mẹ). Và trong cuộc sống hằng ngày, thật kỳ diệu đôi khi chúng ta cũng cảm thấy mình là một cấu thành không thể tách rời của một vũ trụ thống nhất, vũ trụ của tính nhân bản và tình yêu thương.

MathVn.Com (Theo Tia sáng tháng 1/2011)

Ngô Bảo Châu: 15 năm cô đơn với Bổ đề cơ bản

Con đường đến với toán học của Ngô Bảo Châu khá gập ghềnh nhưng nếu ông không chọn toán học thì nó cũng chọn ông. Ngô Bảo Châu tâm sự: “Toán không giống với văn. Nếu như ai cũng có thể nhảy vào bình luận, chê bai văn thì lại rất ít người hiểu toán để đánh giá nên tôi có thể âm thầm làm. Như thế đôi khi đạt hiệu quả hơn. Làm văn và làm nghệ thuật đôi khi cũng dễ chịu áp lực làm sao để tác phẩm của mình được công chúng biết đến, còn người làm toán chịu áp lực với bản thân nhiều hơn”.

• Tóm tắt bổ đề cơ bản của GS Ngô Bảo Châu

Cho đến nay, thành tựu giải quyết Bổ đề cơ bản của Ngô Bảo Châu vẫn được cho là công trình vĩ đại đối với một nhà toán học trẻ. Nhưng cái Bổ đề cơ bản của chương trình Langlands ấy cũng nhiều phen làm khổ nhà toán học Việt Nam.

Gia đình nhà toán học Ngô Bảo Châu

Ông kể: “Năm 1993, khi làm luận án tiến sĩ, tôi đã bắt đầu nghĩ đến chuyện giải quyết bổ đề, dù luận án đó là viết về một công trình khác”.

Ngô Bảo Châu từng tâm sự trên blog cá nhân câu chuyện “15 năm cô đơn với bổ đề”. Trước khi ông tiếp xúc với bổ đề, bài toán này đã tồn tại 15 năm mà chưa ai giải quyết được. Chính Ngô Bảo Châu cũng phải mất 15 năm để đi tới đích và chiến thắng trong “cuộc chiến” mà nhiều nhà toán học đã dấn thân nhưng thất bại.

Năm 2001, Ngô Bảo Châu bắt đầu tới Chicago - Mỹ và hạ quyết tâm giải quyết Bổ đề cơ bản. Khi đó, ông gặp nhiều nhà toán học đã thất bại trước bổ đề và rơi vào trạng thái khủng hoảng tinh thần. “Tôi có một anh bạn người Mỹ nghiên cứu bổ đề rất lâu nhưng thất bại. Anh ấy nói với tôi về tất cả những khó khăn nếu dấn thân vào lĩnh vực này. Lúc ấy tôi cũng lo nhưng vẫn có niềm tin” - Ngô Bảo Châu kể.

Trước khi Ngô Bảo Châu khơi lại Bổ đề cơ bản, giới toán học gần như đã bỏ lĩnh vực này và coi như đó sẽ mãi là một bài toán không có lời giải. Ngô Bảo Châu vẫn âm thầm vừa giảng dạy ở Pháp vừa làm Bổ đề cơ bản.

Có một câu chuyện mà ông vẫn nhớ mãi: “Một lần đi xin việc ở Pháp, tôi nói với những người sẽ tuyển mình rằng tôi đang nghiên cứu bổ đề và họ đã cười phá lên. Có người không hiểu bổ đề là gì, có người hiểu thì nghĩ rằng tôi quá ngạo mạn. Thế là tôi không được nhận việc”.

Ngô Bảo Châu quan niệm toán học cũng chỉ là một phần của cuộc sống, còn Bổ đề Langlands chỉ là một phần của toán học nên nếu có thất bại thì ông cũng sẽ không quá buồn.

“Tôi sợ nhất là mình làm nhưng lại cho đáp án sai thôi, còn làm mà không ra là chuyện bình thường”- ông tâm sự. Có lẽ chính vì quan niệm nhẹ nhàng như vậy nên Ngô Bảo Châu đã thực hiện được công trình để đời.

Bổ đề cơ bản do nhà toán học Langlands người Canada đề xuất. Ông cũng là nhà toán học mà Ngô Bảo Châu ngưỡng mộ nhất. Bố mẹ Langlands là người bình thường, ông cũng không được thụ hưởng một nền giáo dục hàng đầu nhưng đã đề xuất một trong những câu hỏi vĩ đại nhất của toán học hiện đại: Bổ đề cơ bản - tìm câu trả lời cho sự thống nhất giữa hình học và số học.

GS Ngô Bảo Châu tâm sự: “Bổ đề đã được giải quyết rồi nhưng vẫn còn nhiều câu hỏi khác nữa. Tôi cũng luôn cố gắng để tránh rơi vào tình trạng hụt hẫng và chán nản như nhiều nhà toán học sau khi có được những công trình lớn và ngày càng già đi”.

MathVn.Com (Dân Trí)

Bổ đề cơ bản Langlands dưới con mắt của JOE

Hãy cùng nghe Joe (blogger nước ngoài nổi tiếng nhờ viết blog bằng tiếng Việt) “văn học hóa” hành trình chứng minh “Bổ đề cơ bản” của giáo sư Ngô Bảo Châu, để hiểu một cách chân phương nhất, đời thường nhất những gì nhà toán học đã làm được để đưa anh đến với giải thưởng Fields danh giá.

• Bài tóm tắt bổ đề cơ bản của GS Ngô Bảo Châu
• Bổ đề cơ bản và chương trình Langlands

Vừa rồi báo chí kể nhiều về giáo sư Ngô Bảo Châu. Bố, mẹ anh làm gì, trước đây anh học ở đâu và được giải thưởng gì. Anh đã nhận giải thưởng Fields ở thành phố nào, được ai trao tặng huy chương. Thậm chí báo chí có nói công trình của anh dày 169 trang (chính xác quá nhỉ!), và tên của nhà xuất bản phát hành tạp chí đã công bố công trình đó.

Tuy nhiên, báo chí ít nhắc đến nội dung công việc anh ấy đã làm – công việc khiến anh ấy được chọn là người xứng đáng nhận giải thưởng Fields. “Nói chung anh ấy giỏi toán”, là khái niệm sơ sơ của đa số tác giả viết bài liên quan. Khái niệm đó thường được thể hiện bằng ngôn ngữ rất hoành tráng, nhưng vẫn là khái niệm sơ sơ.

Các tác giả thường dừng lại ở câu “Ngô Bảo Châu đã chứng minh được “Bổ đề cơ bản” (thỉnh thoảng cho chút tiếng Pháp vào cho oách: “Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie”). Nhưng “Bổ đề cơ bản” là gì và vì sao chứng minh nó?

Tôi không giỏi toán nhưng tôi nghĩ các vấn đề khoa học có thể được thể hiện bằng ngôn ngữ thú vị và dễ hiểu nếu tác giả bỏ chút thời gian nghiên cứu. Tôi đã nghiên cứu và thấy câu chuyện thật thú vị, không kể cho các bạn nghe thì...phí quá!

Câu chuyện bắt đầu như thế này. Cách đây rất lâu các nhà toán học đã công bố hai lý thuyết quan trọng: lý thuyết số học và lý thuyết nhóm (number theory, group theory). Bản chất của hai lý thuyết đó tôi sẽ để cho bác “Wiki” giải thích – điều nên nhớ là (a) hai lý thuyết ấy rất quan trọng trong thế giới toán học và (b) hai lý thuyết ấy từ xa nhìn riêng biệt với nhau, như hai cành của một thân cây.

Cách đây khoảng 30 năm, một nhà toán học Canada tên Robert Langlands đã công bố rằng ông ấy nghĩ hai lý thuyết ấy có sự liên quan rất đa dạng. Quan điểm của Robert (và cách thể hiện quan điểm đó) đã làm cho nhiều nhà toán học thực sự choáng! Robert cũng tự làm choáng mình nữa – ông phát biểu rằng sẽ mất mấy thế hệ để chứng minh sự liên quan đa dạng mà ông ấy cho rằng có tồn tại.

“Nhưng bước đầu tiên sẽ tương đối dễ thực hiện”, ông Robert tự tin nói với đồng nghiệp.

“Bước đầu tiên” đó Robert đặt tên là "fundamental lemma”, và đó chính là “Bổ đề cơ bản” mà các bạn nghe kể nhiều thời gian gần đây.

Ông Robert tựa như đang đứng trên đảo nhỏ. Nhìn về phía Đông là một con tàu lớn. Nhìn về phía Tây cũng là một con tàu lớn. (Hai tàu không có người lái, trôi trên mặt biển.) Robert không nhìn kỹ được nhưng vẫn cho rằng hai con tàu đó có nhiều điểm chung. Có khi sản xuất cùng loại thép. Có khi chân vịt cùng cỡ. Có khi bánh lái của “tàu Đông” hướng về phía tay phải thì bánh lái của “tàu Tây” sẽ tự động hướng về phía tay trái.

Khỏi phải nói hai con tàu đó là lý thuyết số học và lý thuyết nhóm.

Với Robert, việc chứng minh “bổ đề cơ bản” có thể so sánh với việc ném hai sợi dây có móc sang hai tàu. Khi việc đó làm xong, các nhà toán học khỏe mạnh có thể đứng trên đảo cùng Robert, dùng dây kéo hai tàu gần nhau. (Khi đó mới nhìn kỹ được, tìm ra sự liên quan.) Việc kéo hai con tàu gần nhau và so sánh là việc Robert nghĩ sẽ mất mấy thế hệ. Nhưng việc ném hai sợi dây có móc đó ông Robert nghĩ sẽ nhanh thôi.

Nhưng ông Robert đã nhầm. Việc ném dây khó lắm. Robert cùng một số em sinh viên đã ném thử mấy lần nhưng lần nào cũng thất bại. Họ chỉ biết ném gần (không chính xác được) và dùng dây loại mỏng.

Đảo của Robert trở thành đảo nổi tiếng. Suốt 30 năm có rất nhiều nhà toán học sang “ném thử” Ai cũng lau mồ hôi và kêu lên “khó quá!” Nhiều nhà toán học trên đất liền chuẩn bị công cụ dùng để kiểm tra và so sánh hai con tàu lúc được kéo về đảo (kéo gần nhau!). Họ sản xuất máy để kiểm tra loại sơn, lập trình phần mềm để phân tích hai chân vịt. Thậm chí có người tập lái tàu và tập cách đứng trên boong tàu để không bị say sóng. Những công việc và sự tập luyện đó sẽ thành vô nghĩa nếu không có người ném dây chính xác.

Và rồi xuất hiện anh Ngô Bảo Châu. Nghe kể về đảo của Robert, anh bơi sang xin ném thử. “Được chứ!”, các nhà toán học giỏi nhất thế giới động viên. “Anh cứ thử thoải mái đi, thử mấy lần cũng được, thử xong ngồi cùng chúng tôi uống trà đá nhé!”

Anh Châu ném thử một lần, ném rất mạnh, dùng loại dây nặng nhất. Các nhà toán học kia đứng lên ngạc nhiên, nhiều cốc trà đá rơi xuống đất. Cách ném của anh Châu rất lạ; anh dùng kỹ thuật đặc biệt mà chưa ai thấy bao giờ. “Ném thật đi anh ơi!”, các nhà toán học động viên tiếp. “Biết đâu anh sẽ là nhà toán học đầu tiên bắt tàu hai tay!”

Ngô Bảo Châu ném thật. Và chính xác. Hai cái móc dính vào hai con tàu ngay, mọi người vỗ tay ầm ĩ.  Rồi anh Châu bảo các nhà toán học đứng trên đảo Robert cầm dây giúp (và bắt đầu kéo hai tàu gần nhau), để anh ấy có thể đi sang Ấn Độ nhận giải thưởng Fields.

Câu chuyện kết thúc tại đây.

Chứng minh “Bổ đề cơ bản” là một trong những thành công lớn nhất của toán học hiện đại, được tạp chí Time bình chọn là 1 trong 10 phát minh khoa học tiêu biểu của năm 2009. Vì Ngô Bảo Châu đã hoàn thành việc này, nên những năm tới đây các nhà khoa học thế giới có thể tự tin nghiên cứu sự liên quan giữa lý thuyết số học và lý thuyết nhóm. Đó thực sự là một thành đạt tuyệt vời – cả Việt Nam nên tự hào về người ném dây có tên Ngô Bảo Châu.

Joe (Dân Trí)

Chương trình Langlands và vật lý (Đàm Thanh Sơn)

Bài viết "Chương trình Langlands và vật lý" của GS-TS. Đàm Thanh Sơn - một người bạn của Ngô Bảo Châu. Đàm Thanh Sơn là nhà Vật lý trẻ tuổi tài năng của Việt Nam, hiện đang giảng dạy ở ĐH Washington, Mỹ.
Trước hết, chúng ta nhắc lại một số thức phổ thông về tương tác điện từ.
Chắc ai cũng nhớ định luật Coulomb: hai điện tích và tương tác với nhau bằng lực

Nếu va cùng dấu thì đây là lực đẩy, còn nếu và ngược dấu thì nó là lực hút. Ta sẽ viết công thức này theo một cách khác. Do công (tức là năng lượng) = lực quãng đường, thế năng giữa hai hạt đó bằng:

Bây giờ giả sử ta giam hai hạt có điện tích ở trong một cái hộp có kích thước mỗi chiều là .

Theo công thức trên thế năng của hai hạt là khoảng . Động năng thì là bao nhiêu? Theo lý thuyết lượng tử, khi một hạt bị giam vào một cái hộp như vậy, thì nó không thể nào đứng yên. Nguyên lý bất định của Heisenberg cho biết là xung lượng của hạt này phải lớn hơn , trong đó là hằng số Planck: .
Một hạt có xung lượng thì phải có năng lượng. Theo quan điểm của thuyết tương đối thì năng lượng và xung lượng được hợp nhất thành một vectơ 4 chiều: , trong đó là tốc độ ánh sáng.  Không gian này là không gian Minkowski, ở đó độ dài của véctơ đó là (chú ý dấu trừ!). Một hạt có khối lượng là thì độ dài của véctơ này là :

Giả sử kích thước của hộp rất nhỏ, khi đó lớn hơn nhiều , và .
Như vậy nếu ta có hai hạt bị giam vào một hộp kích thước , động năng của chúng ít nhất sẽ là , và thế năng là . Tỷ lệ (thế năng)/(động năng) bằng , không phụ thuộc và kích thước của hộp. Thay thế giá trị của , , trong tự nhiên vào, con số này bằng 1/137 (chính xác hơn là 1/137.036)  Thế năng nhỏ hơn động năng khoảng 100 lần. Đây là một hằng số cơ bản của tự nhiên, vì lý do lịch sử, nó được gọi là “hằng số cấu trúc tinh tế”. Hầu như tất cả mọi thứ quanh ta (kể cả hóa học, sinh vật học) đều phụ thuộc vào hằng số này. Ví dụ ta có khoảng 100 nguyên tố hóa học trong bảng tuần hoàn chính là do nghịch đảo của hằng số này bằng khoảng 100.
Tuy thế trong tự nhiên có một điểm rất lạ mà không ai giải thích được: đó là điện tích của tất cả các hạt đều bằng một số nguyên nhân cho điện tích cơ bản. Điện tích cơ bản là 1/3 điện tích electron. Các hạt quark có thể có điện tích 2 lần hay 1 lần điện tích cơ bản nhưng không có hạt nào có điện tích, ví dụ, bằng 1/4 hay lần điện tích của electron.
Tại sao lại như vậy? Năm 1931 Paul Dirac đưa ra một lời giải thích hết sức đặc sắc. Ông ta giả thiết thế giới không những chỉ có điện tích, mà có cả “từ tích”. Từ tích, hay còn gọi là đơn cực từ, là nguồn của từ trường. Bình thường một nam châm bao giờ cũng có cực bắc và cực nam.

Ta cứ tưởng tượng có thể tách hai cực của nam châm ra khỏi nhau, thì hai phần đó là hai đơn cực từ. Đơn cực từ chỉ mang một cực, hoặc là bắc, hoặc là nam, cũng như điện tích có thể dương, có thể âm.

Ta sẽ bàn việc đơn cực từ có tồn tại thật trong vũ trụ không sau đây một chút.
Hai đơn cực từ cũng tương tác với nhau giống như định luât Coulomb, nhưng ta thay điện tích bằng từ tích: . Nhưng Dỉrac tìm ra là khi ta lấy một cặp bất kỳ bao gồm một điện tích và một từ tích , cơ học lượng tử đòi hỏi tích của và phải là một số nguyên lần :

Như vậy chỉ cần trong vũ trụ có một từ tích có giá trị bằng , thì tất cả các điện tích phải là bội của . Điều này giải thích tại sao các điện tích phải là bội của một điện tích cơ bản. Ngược lại, nếu là điện tích nhỏ nhất trong thiên nhiên, thì tất cả các từ tích phải là bội của .
Lời giải thích này của Dỉrac hết sức thông minh, nhưng cho đến nay ta vẫn chưa tìm thấy từ tích nào trong vũ trụ. Cũng có thể chúng rất nặng, nên các máy gia tốc chưa tạo ra được chúng.
Nhưng trên giấy các nhà vật lý lý thuyết có thể “sáng tạo” ra những thế giới mới trong đó có cả điện tích lẫn từ tích. Một trong những thế giới này gọi là “N=4 supersymmetric Yang-Mills theory” (N=4 SYM), một lý thuyết trường có nhiều tính chất lý thú. Một trong những tính chất này được các nhà vật lý gọi là “đối ngẫu”: người ta nghĩ rằng N=4 SYM với điện tích cơ bản và từ tích cơ bản bằng có thể biến đổi thành N=4 SYM với điện tích cơ bản , từ tích cơ bản , bằng một phép đổi biến.  Đối ngẫu này trong vật lý được gọi là đối ngẫu điện từ, hay đối ngẫu Montonen-Olive, hay đối ngẫu S. Nó là một giả thuyết chưa ai chứng minh được chặt chẽ, mặc dù có nhiều lý do để ta tin nó là đúng.
Theo lời kể của Edward Witten thì năm 2004, sau khi nghe Ben-Zvi, ông ta đã hiểu rằng đối ngẫu Montonen-Olive này có liên quan đến đối ngẫu Langlands hình học.  Sau đó Kapustin và Witten viết một bài báo dài hơn 200 trang giải thích sự liên quan này. Tất cả những điều này tôi chỉ biết rất lờ mờ thôi, nhưng có vẻ chương trình Langlands có liên hệ mật thiết với một số tính chất cơ bản, và còn phần nào bí hiểm, của một số lý thuyết trường. Kapustin và Witten viết: “the geometric Langlands program for complex surfaces… can be understood as a chapter in quantum field theory.”
Xin cáo lỗi các bạn vì không thể giải thích công trình của Kapustin và Witten chi tiết hơn được. Hy vọng đến một lúc nào đó tôi sẽ hiểu tốt hơn.
Có thể trong tương lai công trình của Ngô Bảo Châu sẽ nằm trong cơ sở của các sách giáo khoa vật lý!

Theo Đàm Thanh Sơn