Một chứng minh mới của bất đẳng thức Cauchy

Chuyên mục "Đọc báo giúp bạn" sẽ giới thiệu các bài báo đặc sắc từ một số Tạp chí Toán học. Mở đầu cho loạt bài này là một chứng minh mới cho bất đẳng thức Cauchy (AM-GM: trung bình cộng - trung bình nhân).
Bất đẳng thức AM-GM ( thường gọi là bất đẳng thức Cauchy) có dạng

trong đó là các số không âm.
Bất đẳng thức này có rất nhiều cách chứng minh. Sau đây là chứng minh có thể xem là ngắn gọn nhất, được đăng trên tạp chí Mathematical Intelligencer, do MICHAEL D. HIRSCHHORN đưa ra năm 2007.


Ta có
với mọi x>0.
Bây giờ giả sử lớn hơn 0 và đặt
; ;
Khi đó hay tức
. Bằng quy nạp ta có điều phải chứng minh.