
Bất đẳng thức AM-GM ( thường gọi là bất đẳng thức Cauchy) có dạng
trong đó
Bất đẳng thức này có rất nhiều cách chứng minh. Sau đây là chứng minh có thể xem là ngắn gọn nhất, được đăng trên tạp chí Mathematical Intelligencer, do MICHAEL D. HIRSCHHORN đưa ra năm 2007.
Ta có
với mọi x>0.
Bây giờ giả sử
Khi đó