Ánh xạ và hàm

“Giả sử X và Y là hai tập hợp đã cho. Một ánh xạ f từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x thuộc X với một và chỉ một phần tử y thuộc Y... Kí hiệu y = f(x) được gọi là giá trị của f tại x.”
Thay cho cụm từ “ánh xạ từ X tới Y” ta cũng thường nói “hàm f xác định trên X và lấy giá trị trong Y”. Thật ra hai từ “ánh xạ” và “hàm” không hẳn đồng nhất. Song sự khác biệt giữa hai khái niệm này chỉ là ở chỗ:
Một ánh xạ thì xác định khắp nơi trên X như trong định nghĩa, còn một hàm thì không nhất thiết phải xác định khắp nơi trên X. Đương nhiên một hàm bao giờ cũng là một ánh xạ từ tập hợp xác định (miền xác định) của nó tới tập đích. Ví dụ là một hàm từ R tới R và là một ánh xạ từ X = [-1; 1] tới R.
Ta thường gặp trong các sách câu: “cho hàm số f(x)”. Cách nói này không chính xác vì nó làm lẫn lộn giữa giá trị của hàm f tại x (f(x) thuộc Y) với bản thân hàm f. Như vậy, thay cho cụm từ “hàm số cosx”, ta cần phải nói: “hàm số ” hoặc “hàm số cosin”.