Xác định giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Nếu đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và cũng không song song với mặt phẳng thì đường thẳng cắt mặt phẳng tại một điểm duy nhất. Điểm này gọi là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng. Ta đã biết mặt phẳng thì "mênh mông", do đó việc xác định chính xác vị trí của giao điểm này là không đơn giản. Tuy nhiên ta có thể "khoanh vùng" vị trí của giao điểm nhờ nhận xét dưới đây.

Nhận xét. Nếu đường thẳng $\Delta$ cắt đường thẳng $a$ tại điểm $A$ và đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ thì điểm $A$ cũng chính là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $(\alpha)$.

Thật vậy, vì $A=\Delta\cap a$ nên $A\in \Delta$ và $A\in a\subset (\alpha)$. Do đó $A$ là điểm chung giữa đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $(\alpha)$. Từ nhận xét này ta "khoanh vùng" được giao điểm $A$ nằm trên một đối tượng "hẹp" hơn là đường thẳng $a$. Điều này sẽ giúp ta xác định được chính xác vị trí giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng thông qua thuật toán như sau.

Thuật toán.

Bước 1. Chọn mặt phẳng $(\beta)$ đi qua đường thẳng $\Delta$.
Bước 2.Xác định giao tuyến $a=(\beta) \cap (\alpha) $.
Bước 3. Trong $(\beta)$ gọi $A$ là giao điểm giữa $\Delta$ với $a$.
Bước 4. Kết luận $A=\Delta \cap (\alpha)$.

Các bước xác định giao điểm giữa đường thẳng với mặt phẳng.

Ví dụ.  Cho hình chóp $S.ABCD$ và 3 điểm $M, N, P$ lần lượt nằm trên $SA$, $SB$, $SC$. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tìm giao điểm giữa
a) $SI$ với mặt phẳng $(MNP)$.
b) $SD$ với mặt phẳng $(MNP)$.

Lời giải

* Phân tích. a)Trước tiên, ta xem xét $SI$ có cắt đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng $(MNP)$ không? Dễ thấy $SI$ và $MP$ đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng $(SAC)$), hơn nữa $SI$ không song song với $MP$, tức là $SI$ phải cắt $MP$ tại một điểm $J$. Như vậy, theo nhận xét ở trên thì $J$ chính là giao điểm giữa $SI$ với mặt phẳng $(MNP)$.

b)Theo thuật toán ở trên, ta chọn một mặt phẳng chứa $SD$ sao cho việc xác định giao tuyến giữa mặt phẳng này với mặt phẳng $(MNP)$ dễ dàng nhất. Trên hình vẽ, các mặt phẳng sẵn có mà đi qua $SD$ là $(SAD)$, $(SBD)$,$(SCD)$. Trong số 3 mặt phẳng này thì mặt phẳng $(SBD)$ phù hợp nhất với yêu cầu của chúng ta. Dễ thấy $(SBD)\cap (MNP)=NJ$. Khi đó, trong mặt phẳng $(SBD)$ gọi $Q=NJ\cap SD$ thì $Q$ chính là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(MNP)$.

Bài tập.

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ và $M$ là một điểm trên cạnh $SC$.
a) Tìm giao điểm của $AM$ và $(SBD)$.
b) Gọi $N$ là một điểm trên cạnh $BC$. Tìm giao điểm của $SD$ và $(AMN)$.

Bài 2. Cho tứ diện $ABCD$ và $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $BD$ và không trùng với trung điểm của $BD$. Tìm giao điểm của $CD$ và $AD$ với mặt phẳng $(MNK)$.

Bài 3. Cho tứ diện $ABCD$ và $M, N$ lần lượt là hai điểm trên $AC$ và $AD$. Gọi $O$ là một điểm bên trong tam giác $BCD$. Tìm giao điểm của:
a) $MN$ và $(ABO)$.
b) $AO$ và $(BMN)$.

Bài 4.
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC, và K là điểm trên BD với KD < KB. Dựng giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).

Bài 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang và AD song song với BC. Lấy M, N là 2 điểm tùy ý trên SB, SD. Tìm giao điểm giữa
a. MP và (SBD).
b. SD và (MNP).
c. SC và (MNP).
 
Bài 6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm của SB, AD và G là trọng tâm tam giác SAD.
a. Tìm giao điểm  I của GM và (ABCD).
b. Tìm giao điểm J giữa AD và (OMG).
c. Tìm giao điểm K giữa SA và (OGM).
 
Bài 7.
Cho hình chóp S.ABCD. Lấy M là một điểm trên cạnh SC.
a. Tìm giao điểm của AM và (SBD).
b. Gọi N là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).
 
Bài 8.
Cho hình chóp S.ABCD. Lần lượt lấy trên SA, AB và BC các điểm M, N, P sao cho NP không song song với AD và CD. Dựng giao điểm của SD, SC với mặt phẳng (MNP).
 
Bài 9.
Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên AB và N trong tam giác BCD. Dựng giao điểm của AC với mặt phẳng (MND).
 
Bài 10.
Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên AB và điểm N trên AC và I ở trong tam giác BCD. Dựng giao điểm  của BC, CD với mặt phẳng (IMN).
 
Bài 11.
Cho hình chóp S.ABCD và điểm M ở trên SB. Dựng giao điểm của SC với mặt phẳng (ADM).
 
Bài 12.
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang, cạnh đáy lớn AB. Gọi I, J, K là ba điểm lần lượt trên SA, AB, BC.

a. Tìm giao điểm của IK với (SBD).

b. Tìm các giao điểm của (IJK)  với SD và SC.
 
Bài 13.
Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M trên AB, điểm N trong tam giác BCD và điểm K trong tam giác ACD. Dựng giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).

Xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng

Nếu máy tính bạn chưa cài đặt chương trình Java thì mô hình Geometer's Sketchpad có trong bài viết này không hiển thị được. Vì thế bạn vui lòng tải về và cài đặt Java tại địa chỉ http://java.com nhé!

Có 2 phương pháp xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng.

 Phương pháp 1. Tìm 2 điểm chung phân biệt giữa hai mặt phẳng. Đường thẳng nối 2 điểm chung đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng.
 Phương pháp 2. Tìm một điểm chung và phương của giao tuyến. (Để xác định phương của giao tuyến ta thường dựa vào quan hệ song song).

Giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua hai đường thẳng song song.

(Thông thường ta tìm mặt phẳng thứ ba chứa lần lượt 2 đường thẳng của 2 mặt phẳng cần xác định giao tuyến, nếu 2 đường thẳng này cắt nhau thì giao điểm chính là điểm chung của hai mặt phẳng, nếu 2 đường thẳng này song song sẽ cho ta phương của giao tuyến.)

Một số định lý thường dùng trong phương pháp 2.

Định lý. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc dồng quy hoặc đôi một song song.
Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).
Định lý. Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(\alpha)$ thì mọi mặt phẳng $(\beta)$ chứa $a$ mà cắt $(\alpha)$ thì cắt theo giao tuyến song song với $a$.
Hệ quả. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song. Xác định giao tuyến giữa các cặp mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$; $(SAB)$ và $(SCD)$; $(SAD)$ và $(SBC)?$

Please install Java (version 1.4 or later) to use JavaSketchpad applets.

Lời giải.
+) Tìm giao tuyến giữa $(SAC)$ và $(SBD)$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $O=AC\cap BD$. Khi đó $$\left. \begin{array}{l} O\in AC\subset (SAC)\\ O\in BD\subset (SBD)\end{array}\right\} \Rightarrow O\in (SAC)\cap (SBD).$$Mặt khác $S\in (SAC)\cap (SBD)$. Vậy $(SAC)\cap (SBD)=SO$.

+) Tìm giao tuyến giữa $(SAB)$ và $(SCD)$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $E=AB\cap CD$. Khi đó $$\left. \begin{array}{l} E\in AB\subset (SAB)\\ E\in CD\subset (SCD)\end{array}\right\} \Rightarrow E\in (SAB)\cap (SCD).$$Mặt khác $S\in (SAB)\cap (SCD)$. Vậy $(SAB)\cap (SCD)=SE$.

+) Tìm giao tuyến giữa $(SAD)$ và $(SBC)$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $F=AD\cap BC$. Khi đó $$\left. \begin{array}{l} F\in AD\subset (SAD)\\ F\in BC\subset (SBC)\end{array}\right\} \Rightarrow F\in (SAD)\cap (SBC).$$Mặt khác $S\in (SAD)\cap (SBC)$. Vậy $(SAD)\cap (SBC)=SF$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)?$

Lời giải.
+) Cách 1. Tìm giao tuyến giữa $(SAB)$ và $(SCD)$. (Sử dụng tính chất: Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau thì 3 giao tuyến của chúng đồng quy hoặc song song với nhau.)
Ta có $$\left. \begin{array}{l}S\in (SAB)\cap (SCD)\\ (SAB)\cap (ABCD)=AB\\ (SCD)\cap (ABCD)=CD\\ AB//CD\end{array}\right\} \Rightarrow (SAB)\cap (SCD)=Sx, Sx//AB//CD.$$ Vậy $(SAB)\cap (SCD)=Sx, Sx// AB// CD$.

+) Cách 2. Tìm giao tuyến giữa $(SAB)$ và $(SCD)$.
Ta có $$\left. \begin{array}{l}S\in (SAB)\cap (SCD)\\ AB\subset (SAB)\\ CD\subset (SCD)\\ AB//CD\end{array}\right\} \Rightarrow (SAB)\cap (SCD)=Sx, Sx//AB//CD.$$ Vậy $(SAB)\cap (SCD)=Sx, Sx// AB// CD$.

Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ và $E$ là một điểm trên cạnh $SC$. Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng $(SAE)$ và $(SBD)?$

Lời giải.

Phân tích. Hai mặt phẳng $(SAE)$ và $(SBD)$ có điểm chung là $S$. Tuy nhiên ta không tìm thấy mặt phẳng nào chứa cả $AE$ và $BD$, vì 4 điểm $A, B, D, E$ không đồng phẳng. Do đó để tìm điểm chung thứ hai ta tìm cách "mở rộng" mặt phẳng $(SAE)$ thành một mặt phẳng "lớn" hơn sao cho trong mặt phẳng đó có chứa một đường thẳng mà nó có thể cắt được $BD$. Quan sát kỹ hình vẽ ta sẽ thấy mặt phẳng đó là $(SAC)$.

Ta có $S\in (SAE)\cap (SBD)$ và $(SAE)\equiv (SAC)$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $F=AC\cap BD$. Khi đó $$\left. \begin{array}{l} F\in AC\subset (SAE)\\ F\in BD\subset (SBD)\end{array}\right\} \Rightarrow F\in (SAE)\cap (SBD).$$ Vậy $(SAC)\cap (SBD)=SF$.

Bài tập

Bài 1. Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC, CD, SO$. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt phẳng $(SAB), (SAD), (SBC)$ và $(SCD)$.

Bài 2. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BC$ và $K$ là một điểm trên cạnh $BD$ sao cho $KD< KB$. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(IJK)$ với $(ACD)$ và $(ABD)$.  

Bài 3. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IBC)$ và $(JAD)$.
b) Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $AB$, $N$ là một điểm trên cạnh $AC$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(IBC)$ và $(DMN)$.

Bài 4. Cho tứ diện $ABCD$ và $M$ là một điểm bên trong tam giác $ABD$, $N$ là một điểm bên trong tam giác $ACD$. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng $(AMN)$ và $(BCD)$; $(DMN)$ và $(ABC)$.

Tính chất thừa nhận trong hình học không gian

Tính chất. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
(Kiểm chứng tính chất này bằng cách rê kéo các điểm "dài" và "rộng" trong mô hình bên dưới)

Please install Java (version 1.4 or later) to use JavaSketchpad applets. Định lý. Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trên mặt phẳng đó. Please install Java (version 1.4 or later) to use JavaSketchpad applets. Bấm nút "quay tự đông" để cảm nhận rõ hơn về đường thẳng và mặt phẳng. Dùng chuột rê kéo các điểm dài, rộng và nghiêng trong hình trên để kiểm chứng Định lý.